10.2. ВЫБОР СВОРАЧИВАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

В разд. 8.6 мы подробно обсудили некоторые принципы подбора сворачиваемой и интерполяционной функций в сверточном алгоритме для параллельного пучка. Было показано, что линейная интерполяция дает лучшие результаты, чем метод интерполяции по ближайшим значениям. В случае расходящегося пучка мы будем пользоваться методом линейной интерполяции без всякого дополнительного рассмотрения.

Задача настоящего раздела состоит в ответе на вопрос о том, каким образом выбор функции «окна» сказывается на качестве реконструированного изображения. При ответе на этот вопрос возможны два подхода, а именно:

а) точно сформулировать критерии качества реконструированного изображения и найти функции «окна», оптимальные с точки зрения данных критериев;

б) взять представительный набор функций «окна» и исследовать их в соответствии с некими фундаментальными критериями, такими, как эффективность реконструкции полезного изображения и устойчивость его к шуму, а также в соответствии с их «поведением» при работе с тест-объектами, характерными для той или иной области применения метода.

Первый подход выглядит менее привлекательным с математической точки зрения и не позволяет эффективно производить выбор функции «окна», поскольку в отдельных случаях трудно математически формализовать требуемые свойства функции. Как, например, записать математически следующее требование: «Мне необходимо найти функцию «окна», которая давала бы диагностически информативные изображения поперечных сечений головы По ее рентгеновским проекциям?» Легче сформулировать общие требования, которые, возможно, содержат произвольные параметры, а «оптимальная» функция «окна» может сильно зависеть от величин, характеризующих эти параметры (примеры будут приведены ниже). После того как критерий, согласно которому определяется оптимальность функции «окна», зафиксирован, нахождение последней может оказаться весьма сложным, поэтому при ее формулировании обычно делают упрощающие предположения (такие, как возможность применения проекций по всем направлениям или независимость измеряемого уровня шума от величины сигнала). Все это заставляет сомневаться в том, что выбранная функция «окна» действительно оптимальная для практических методов регистрации исходных данных. Однако даже с использованием упрощающих предположений часто трудно найти в замкнутой форме решение, определяющее вид функции «окна».

По причинам, перечисленным выше, здесь будет использован второй подход к исследованию влияния вида функции «окна» на качество реконструированного изображения. При выборе функций «окна» необходимо принять во внимание следующие соображения.

В идеальном случае необходимо выбрать такую функцию «окна», которая равнялась бы единице в пределах своей полосы пропускания, а ширина самой полосы была бы по возможности большой. Необходимость в использовании функции «окна» иного вида состоит в уменьшении влияния погрешностей, обусловленных использованием конечного числа ракурсов, эффектами дискретизации проекций и различного рода шумами. Как правило, фурье-образ проекционных данных спадает быстро в области высоких пространственных частот, поэтому эффекты возникновения ложных пространственных частот при отсчете проекционных данных и воздействии шума обычно выражены более существенно на высоких пространственных частотах, чем на низких. «Хорошая» функция «окна» позволяет сгладить указанные эффекты.

В соответствии с условиями, накладываемыми на вид функции а также со сделанными выводами о необходимости подавления ошибок без излишне больших потерь информации функции «окна» должны представлять собой невозрастаюшие функции пространственной частоты причем на интервале Для исследования области возможных значений функции рассмотрим функцию обобщенного «окна» Хэмминга при трех значениях параметра а, а именно: 1,0, 0,8 и 0,54 (табл. 8.1 и разд. 8.6). В обоих случаях полосу пространственных частот выбирают равной по соображениям, которые понятны из анализа разд. 8.6.

Для каждой из упомянутых выше функций «окна» были проведены по три эксперимента: один — для исследования способности метода реконструировать сигнал в отсутствие шума, другой — для оценки помехоустойчивости метода и, наконец, третий — для оценки эффективности метода реконструкции поперечных сечений головы человека в рентгеновских лучах.

Во всех перечисленных экспериментах была использована стандартная схема регистрации исходных данных, описанная в разд. 5.2, а реконструированная функция вычислялась в центрах 113-элементной сетки (разд. 4.1). Шаг между отсчетами составлял 0,1504 см. Обсуждение этих трех экспериментов приводится в отдельном разделе главы.