ОТ ПЕРЕВОДЧИКА

В начале пятидесятых годов в обиход математического анализа вошло большое число пространств обычных или обобщенных функций со всюду определенными непрерывными дифференциальными операторами. Эти пространства — назовем их "пространствами дифференциального типа — оказались ненормируемыми и большей частью даже неметризуемыми, что сделало очевидной недостаточность старых банаховских рамок функционального анализа и дало мощный импульс развитию общей теории локально выпуклых пространств. Но пространства дифференциального типа обладали резко выраженными особенностями, наиболее глубокой из которых оказалась справедливость "теоремы о ядре“. Сформулировав эту теорему в абстрактном виде, на языке введенных им "топологических тензорных произведений”, А. Гротендик выделил класс локально выпуклых пространств (названных им ядерными), охватывающий все пространства дифференциального типа и сохраняющий важнейшие их специфические свойства.

Теория ядерных пространств была развита Гротендиком в рамках его общей теории тензорных произведений локально выпуклых пространств и вследствие сложности последней оставалась мало доступной даже для специалистов. Естественно возникла потребность в переводе гротендиковской теории ядерных пространств на обычный язык функционального анализа. Решению этой задачи была посвящена серия статей Пича (в большинстве переведенных на русский язык и напечатанных в сборниках "Математика"). В первой половине предлагаемой книги Пича в основном излагается (в переработанном и систематизированном виде) материал этих статей. Автору удалось, положив в основу изучение абсолютно суммирующих отображений

(встречавшихся у Гротендика лишь эпизодически и в неявном виде), построить теорию ядерных пространств, совершенно не пользуясь тензорными произведениями. Уже после этого он для сравнения посвящает небольшую главу тензорным произведениям и переводу на их язык изложенных ранее понятий и результатов. В этой главе устанавливается и одна из абстрактных форм теоремы о ядре, но ни в формулировке ее, ни в доказательстве тензорные произведения не используются.

Ключом к новому построению теории ядерных пространств служит Пичу его теорема 2.3.3, характеризующая абсолютно суммирующие отображения нормированных пространств. О силе этой теоремы можно судить уже по тому, что (как показано в примечании переводчика в конце гл. 3) из нее почти непосредственно следует теорема Дворецкого-Роджерса о том, что в каждом бесконечномерном нормированном пространстве имеются безусловно, но не абсолютно сходящиеся ряды. Весьма интересны теорема 2.5.5, устанавливающая, что абсолютно суммирующие отображения гильбертовых пространств — не что иное, как отображения Гильберта — Шмидта, и теорема 3.3.5, по которой произведение любых двух абсолютно суммирующих отображений ядерно; обе теоремы имелись у Гротендика лишь в весьма завуалированном виде. Некоторые результаты Гротендика доказаны при более слабых предположениях. Получены и интересные новые результаты, из которых отметим необходимые и достаточные условия ядерности сильного сопряженного к ядерному пространству (теорема 4.3.1) и пространства последовательностей (теорема 6.1.2).

Последние три главы книги посвящены недавним исследованиям советских и польских математиков, а также самого автора, относящимся к аппроксимационным свойствам и базисам ядерных пространств и вопросу об "универсальных ядерных пространствах.

В книге поставлено много интересных проблем. Заметим, что одна из них совсем недавно положительно решена японскими математиками Т. и Ю. Комура [1], показавшими, что локально выпуклое пространство ядерно,

тогда и только тогда, когда оно изоморфно подпространству произведения некоторого множества экземпляров пространства быстро убывающих последовательностей, откуда следует, что каждое метризуемое ядерное пространство изоморфно вкладывается в пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на прямой.

Необходимые сведения из функционального анализа и топологии (многие из которых хорошо известны) конспективно изложены в начальной главе. Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся функциональным анализом и его приложениями.

Д. Райков

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ

После появления этой книги теория ядерных локально выпуклых пространств обогатилась некоторыми существенными достижениями, о которых здесь следует вкратце сказать.

Т. и Ю. Комура [1] показали, что каждое ядерное локально выпуклое пространство может быть вложено в топологическое произведение некоторого множества экземпляров пространства последовательностей Это позволило освободить теорию универсальных ядерных локально выпуклых пространств от излишних предположений (о существовании базиса).

Большое значение для теории строения ядерных локально выпуклых пространств имеет доказанная Ю. Комура и С. Коси [1] теорема, что каждая ядерная -решетка обладает абсолютным базисом.

Мною предложен в [10] общий способ построения базисов в некоторых ядерных функциональных пространствах (ср. Трибель [1]).

Применив теорию воспроизводящих ядер, Блока [1], [2], [3] развил единообразный метод установления ядерности всех важных ядерных функциональных пространств.

Наконец, мною построена в [12] теория абсолютно -суммирующих отображений, приведшая к новым критериям ядерности. При этом с помощью одной идеи, принадлежащей С. Квапину (S. Kwapien), мне удалось существенно упростить доказательство фундаментальной теоремы 2.3.3.

Русский перевод отличается от немецкого оригинала лишь несколькими небольшими исправлениями. За выполнение этого перевода выражаю Райкову свою сердечную благодарность.

Альбрехт Пич

ПРЕДИСЛОВИЕ

Конкретные локально выпуклые пространства, с которыми имеет дело анализ, распадаются, за отдельными исключениями, на два класса. Это, во-первых, нормированные пространства, вошедшие в классический фонд функционального анализа; их теорию можно считать в основном завершенной. Второй класс образуют так называемые ядер-ные локально выпуклые пространства, введенные в 1951 г. А. Гротендиком. Эти два класса имеют тривиальное пересечение, ибо одновременно нормируемыми и ядерными оказываются лишь конечномерные локально выпуклые пространства.

Без преувеличения можно сказать, что наиболее существенные результаты теории ядерных локально выпуклых пространств содержатся уже в фундаментальной диссертации Гротендика. К сожалению, примененный там аппарат локально выпуклых тензорных произведений весьма громоздок, что излишне усложнило многие доказательства. Поэтому моей задачей в этой книге было построение теории ядерных локально выпуклых пространств без использования локально выпуклых тензорных произведений. Их место занимают вводимые в первой главе локально выпуклые пространства суммируемых и абсолютно суммируемых семейств. Большое преимущество этого метода проявляется, однако, не только в очень простых доказательствах. Пожалуй, еще более важным является то, что с его помощью впервые удалось получить необходимое и одновременно достаточное условие ядерности сильного сопряженного к ядерному локально выпуклому пространству.

В последние годы большое значение в изучении ядерных локально выпуклых пространств приобрели некоторые понятия теории аппроксимаций. Особенно это относится

к введенной А. Н. Колмогоровым и А. Пелчинским аппроксимативной размерности, примененной затем Б. С. Митягиным для характеризации ядерных локально выпуклых пространств. Основные результаты этих исследований излоч жены в последних трех главах. Особенно следовало бы отметить теорему о базисах, весьма важную для теории представления ядерных локально выпуклых пространств.) Наиболее существенный вывод из этих рассмотрений можно сформулировать так: если бы когда-нибудь вообще оказалось возможным развить структурную теорию локально выпуклых пространств, то раньше всего это должно было бы удасться для ядерных локально выпуклых пространств, которые существенно ближе к конечномерным, чем нормируемые.

Для большей доступности изложения я отказался от сопровождения отдельных теорем точными литературными ссылками. Зато каждая глава начинается кратким обзором ее содержания, включающим также замечания исторического характера.

Альбрехт Пич

Германская Академия наук в Берлине,

Институт чистой математики