Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 9.3. Диаметральная размерность пространств степенных рядов9.3.1. В пространстве степенных рядов
образуют фундаментальную систему окрестностей нуля. Совершенно так же, как в доказательстве предложения 9.1.3, получаем при
Поэтому справедлива Теорема. Диаметральная размерность пространства степенных рядов
для некоторого, соответственно каждого, числа 9.3.2. Из предыдущей теоремы следует, что пространства степенных рядов
обладают одинаковой диаметральной размерностью для всех конечных одной только последовательности Предложение. Какова бы ни была последовательность Доказательство. Пространство
9.3.3. Покажем теперь, что диаметральная размерность есть полный инвариант пространства степенных рядов. Теорема 1. Каждое пространство степенных рядов Доказательство. Пусть
С другой стороны, для каждой последовательности
откуда, полагая
Но тем самым мы показали, что множество Теорема 2. Каждое пространство степенных рядов Доказательство. Пусть
В силу теоремы 9.3.1 имеем тогда
Покажем теперь, что
Пусть
Тогда
Если допустить, что все множества
принадлежит
Тогда
и
Следовательно,
так что по теореме 9.3.1
Полученное противоречие показывает, что хотя бы одно из множеств
Из полученной характеризации последовательностей, образующих Из теоремы 2 и предложения 9.3.2 вытекает Теорема 3. Каждое пространство степенных рядов 9.3.4. Как легко убедиться, все пространства степенных рядов, у которых
совпадают с банаховым пространством независимо от того, будет ли Теорема. Два пространства степенных рядов различных типов никогда не изоморфны. Доказательство. Пусть
и
причем
Если допустить, что пространства
Так как все последовательности
Неравенство
показывает, что числа
Пусть теперь 0 и 1. Выберем натуральное число
Заметим, кроме того, что так как
то
Тогда для всех
и, следовательно,
Но тем самым доказано, что последовательность
Но это невозможно, поскольку в силу неравенств
мы имели бы
Полученное противоречие показывает, что пространства степенных рядов
|
1 |
Оглавление
|