9.3. Диаметральная размерность пространств степенных рядов

9.3.1. В пространстве степенных рядов порожденном всеми последовательностями , множества

образуют фундаментальную систему окрестностей нуля. Совершенно так же, как в доказательстве предложения 9.1.3, получаем при равенства

Поэтому справедлива

Теорема. Диаметральная размерность пространства степенных рядов соответственно состоит из всех последовательностей положительных чисел таких, что

для некоторого, соответственно каждого, числа заключенного между 0 и 1.

9.3.2. Из предыдущей теоремы следует, что пространства степенных рядов

обладают одинаковой диаметральной размерностью для всех конечных поскольку описывается в терминах

одной только последовательности Но в этом нет ничего удивительного, ибо справедливо даже следующее

Предложение. Какова бы ни была последовательность определяемые ею пространства степенных рядов для всех конечных изоморфны.

Доказательство. Пространство изоморфно отображается на диагональным преобразованием заданным формулой

9.3.3. Покажем теперь, что диаметральная размерность есть полный инвариант пространства степенных рядов.

Теорема 1. Каждое пространство степенных рядов однозначно определяется своей диаметральной размерностью.

Доказательство. Пусть совокупность всех последовательностей для которых Тогда

С другой стороны, для каждой последовательности поскольку существует число такое. что

откуда, полагая имеем

Но тем самым мы показали, что множество состоит из всех тех последовательностей положительных чисел для которых при надлежащих положительных числах и о выполняются неравенства (1). Поэтому совпадает с пространством последовательностей

Теорема 2. Каждое пространство степенных рядов однозначно определяется своей диаметральной размерностью.

Доказательство. Пусть совокупность всех последовательностей положительных чисел таких, что

В силу теоремы 9.3.1 имеем тогда

Покажем теперь, что состоит из всех тех последовательностей положительных чисел для которых при надлежащих заключенном между 0 и 1, выполняются неравенства

Пусть Положим

Тогда

Если допустить, что все множества бесконечны, то существует последовательность попарно различных чисел Но тогда последовательность у которой

принадлежит В самом деле, для каждого существует натуральное число такое, что

Тогда

и

Следовательно,

так что по теореме 9.3.1 . Однако это невозможно, ибо, поскольку мы имели бы

Полученное противоречие показывает, что хотя бы одно из множеств должно быть конечно. Но в силу (3) это может случиться, только когда все множества начиная с некоторого, пусты. А соотношение означает выполнение неравенств требуемого типа (2)

Из полученной характеризации последовательностей, образующих следует, что совпадает с пространством последовательностей

Из теоремы 2 и предложения 9.3.2 вытекает

Теорема 3. Каждое пространство степенных рядов с точностью до некоторого диагонального преобразования однозначно определяется своей диаметральной размерностью.

9.3.4. Как легко убедиться, все пространства степенных рядов, у которых

совпадают с банаховым пространством независимо от того, будет ли конечным или бесконечным. Если отвлечься от этого тривиального случая, справедлива

Теорема. Два пространства степенных рядов различных типов никогда не изоморфны.

Доказательство. Пусть и — пространства степенных рядов, порождаемые системами

и

причем

Если допустить, что пространства и изоморфны, то

Так как все последовательности принадлежат то тогда они принадлежат также следовательно,

Неравенство

показывает, что числа для каждого ограниченны, так что можно ввести числа

Пусть теперь произвольное число, заключенное между

0 и 1. Выберем натуральное число так, чтобы

Заметим, кроме того, что так как

то

Тогда для всех имеем

и, следовательно,

Но тем самым доказано, что последовательность принадлежит а значит, и Поэтому существует натуральное число такое, что

Но это невозможно, поскольку в силу неравенств

мы имели бы

Полученное противоречие показывает, что пространства степенных рядов и не могут быть изоморфны.