10.4. Универсальные ядерные локально выпуклые пространства

10.4.1. Митягин [4] показал, что изоморфно 2 — произведению экземпляров пространства последовательностей 2. Однако мы докажем лишь два более слабых утверждения.

Теорема 1. Ядерное локально выпуклое пространство отождествимо с подпространством пространства

Доказательство. Относя каждой функции ее сужения на интервалы , можно отождествить с подпространством произведения

Но так как все согласно 10.3.4, изоморфны пространству 2, то тем самым отождествимо с подпространством пространства

Теорема 2. Ядерное локально выпуклое пространство отождествимо с подпространством пространства

Доказательство. Произведение

можно отождествить с подпространством пространства путем отнесения каждому семейству где функции определенной условиями

А так как пространства согласно

10.3.4, изоморфны X, то и вложимо как подпространство в

10.4.2. Теорема. Каждое ядерное метрическое пространство последовательностей отождествимо с подпространством пространства

Доказательство. Будучи метрическим, порождается некоторой счетной системой

причем его локально выпуклая топология определяется преднормами

На основании теоремы 6.1.2 систему можно, в частности, выбрать так, чгобы выполнялись соотношения

для некоторых последовательностей Положив

будем иметь тогда

причем может быть подвергнуто такой перестановке, что последовательность будет монотонно убывающей. При этих предположениях имеем

и, вводя положительные числа

получаем, что для и каждой последовательности выполняются неравенства

Поскольку топологию пространства можно задать преднормами

формула

определяет взаимно однозначное непрерывное линейное отображение пространства А в ибо

Наконец, равенство

показывает, что и обратное отображение непрерывно.

10.4.3. Теорема 10.4.2 и теорема 1 из 10.4.1 в совокупности показывают, что справедлива следующая

Теорема. Каждое ядерное метрическое пространство последовательностей отождествило с подпространством пространства

10.4.4. Наконец, с помощью 10.2.2 получается

Теорема. Каждое ядерное метрическое локально выпуклое пространство обладающее равностепенно непрерывным базисом, отождествимо с подпространством пространства 2 или

10.4.5. Предыдущие рассмотрения показали, что занимает среди ядерных метрических локально выпуклых пространств примерно такое же положение, какое среди нормированных. Поэтому возникает следующая

Проблема. Допускает ли ядерное -пространство абстрактную характеризацию?