0.2. Метрические пространства

0.2.1. Отображение относящее каждой паре элементов х, у множества неотрицательное вещественное число называется метрикой, если оно обладает следующими свойствами:

Утверждения равносильны,

Для любых элементов неравенство треугольника

0.2.2. Всякая метрика определенная на множестве порождает в нем хаусдорфову топологию если каждому элементу отнести в качестве фундаментальной системы окрестностей совокупность множеств

Топология, которую можно получить указанным образом из какой-нибудь метрики, называется метрической, а множество, наделенное такой топологией, — метрическим пространством.

0.2.3. В метрических пространствах многие доказательства упрощаются, поскольку во всех рассуждениях, связанных со сходимостью, можно ограничиться рассмотрением последовательностей. Так, скажем, множество замкнуто тогда и только тогда, когда вместе с каждой сходящейся последовательностью своих элементов оно содержит и ее предел.

0.2.4. Предложение. Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая последовательность его элементов обладает сходящейся подпоследовательностью.

0.2.5. Метрическое пространство называется предкомпактным, если для каждого положительного числа существует конечный набор элементов такой, что

Все компактные метрические пространства предкомпактны.

Предложение. Каждое предкомпактное метрическое пространство сепарабельно.