0.9. Гильбертовы пространства
0.9.1. Отображение, относящее каждой паре элементов х, у линейного пространства 
над полем К веще» ственных или комплексных чисел число 
называется полускалярным произведением, если оно обладает
следующими свойствами:
Если, кроме того, 
влечет 
то 
называют скалярным произведением.
Каждое полускалярное произведение порождает преднорму 
определяемую формулой
0.9.2. Гильбертовым пространством называют вещественное или комплексное банахово пространство, норма которого порождена скалярным произведением.
0.9.3. Теорема Рисса. Каждая линейная форма 
на гильбертовом пространстве 
представима однозначно определенным элементом 
в виде
При этом
0.9.4. Элементы х и у гильбертова пространства 
называют ортогональными, если 
Под ортонормальной системой 
понимают множество элементов 
поставленных во взаимно однозначное соответствие с элементами множества индексов 
и удовлетворяющих соотношениям
где
Для каждой ортонормальной системы 
выполняется неравенство Бесселя
где сумма в левой части имеет смысл, определяемый ниже в 1.1. В силу теоремы Рисса, неравенство Бесселя представимо также в виде
для любой линейной формы 
Ортонормальную систему 
называют полной, если каждый элемент 
представим (в смысле, определяемом в 1.3) в виде суммы
Теорема. В каждом гильбертовом пространстве существуют полные ортонормальные системы, причем всякая 
то нормальная система содержится хотя бы в одной полной.
