Глава 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Эта глава содержит сводку используемых нами Понятий и теорем. Из общей топологии, помимо важнейших определений и некоторых элементарных предложений, мы применяем лишь фундаментальную теорему Тихонова. Непосредственную основу наших рассмотрений составляет теория локально выпуклых пространств. Кроме теоремы Хана — Банаха, нам будут нужны здесь также некоторые более глубокие факты. С другой стороны, о гильберто пространствах понадобятся лишь немногие элементар предложения. То же относится к теории меры, из которой используются, собственно, лишь определение меры Радона на компактном хаусдорфовом пространстве и конструкция гильбертова пространства

В качестве литературы назовем следующие руководства:

Топология: Бурбаки [1], Келли [1], Кёте [4].

Локально выпуклые пространства: Бурбаки [4], Гротендик [8], Кёте [4], Келли, Намиока и др. [1], Шефер [1].

Нормированные пространства: Банах [1], Дэй [I].

Гильбертовы пространства: Ахиезер, Глазман [1], Халмош [2].

Теория меры: Бурбаки [3], Халмош [1].

0.1. Топологические пространства

0.1.1. В множестве задана топология если каждому элементу сопоставлена непустая система подмножеств из так, что выполнены следующие условия:

Для каждого конечного семейства множеств существует множество такое, что

Каждое множество обладает подмножеством для всякого элемента у которого существует содержащееся в

Множество с введенной в нем топологией называют топологическим пространством.

0.1.2. Всякое подмножество топологического пространства содержащее хотя бы одно множество из называется окрестностью элемента х. Семейство называется фундаментальной системой окрестностей элемента х.

0.1.3. Топология мажорирует топологию мажорируется топологией , если каждая окрестность любого элемента есть также его -окрестность. Две топологии в множестве совпадают, если всякий его элемент обладает в обеих топологиях одними и теми же окрестностями.

0.1.4. В каждом подмножестве топологического пространства можно в свою очередь ввести топологию, отнеся каждому элементу в качестве фундаментальной системы окрестностей совокупность пересечений где пробегает Эту топологию в называют индуцированной из

0.1.5. Под направленной системой в топологическом пространстве понимается семейство элементов однозначно определяемых индексами а, пробегающими множество А, причем для некоторых пар индексов из А определено отношение обладающее следующими свойствами:

Для каждого конечного набора индексов существует индекс такой, что а

Направленные системы, множеством индексов которых служит натуральный ряд, называют последовательностями.

Направленная система сходится к элементу если для каждой окрестности существует индекс

такой, что

Тогда пишут

и называют х пределом направленной системы

В топологическом пространстве предел всякой сходящейся направленной системы однозначно определен тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие:

Для любых двух различных элементов существуют множества и такие, что

Такое топологическое пространство называется хаусдорфовым.

0.1.6. Подмножество топологического пространства называется открытым, если для каждого элемента существует множество такое, что Пустое множество считается открытым.

0.1.7. Замыканием произвольного подмножества топологического пространства называется множество тех элементов для которых при каждом не пусто. Каждое множество содержится в своем замыкании. Множества, совпадающие со своим замыканием, называют замкнутыми. Пустое множество считается замкнутым.

0.1.8. Говорят, что подмножество топологического пространства плотно в если его замыкание совпадает с Топологическое пространство, обладающее счетным плотным подмножеством, называют сепарабельным.

0.1.9. Хаусдорфово топологическое пространство называется компактным, если каждая система открытых множеств, покрывающая содержит конечную подсистему, обладающую тем же свойством.

Предложение. В компактном хаусдорфовом пространстве с топологией всякая мажорируемая хаусдорфова топология совпадает с

Подмножество К топологического пространства называется компактным, если К есть компактное хаусдорфово пространство в топологии, индуцированной из

0.1.10. Каково бы ни было семейство топологических пространств совокупность всевозможных семейств в которых становится топологическим пространством, если каждому элементу отнести фундаментальную систему окрестностей, образованную всевозможными множествами

где окрестность точки причем отлично от лишь для конечного числа индексов Получающееся так топологическое пространство называется произведением топологических пространств

Теорема Тихонова. Произведение любого семейства компактных хаусдорфовых пространств также есть компактное хаусдорфово пространство.

0.1.11. Пусть топологические пространства. Отображение пространства называют непрерывным, если полный прообраз

каждого открытого подмножества пространства ! есть открытое подмножество пространства