0.3. Линейные пространства

0.3.1. Линейным пространством над полем К называется непустое множество, наделенное следующей алгебраической структурой,

Каждым двум элементам отнесена сумма а каждому и каждому - произведение , причем

(3) существует нулевой элемент, т. е. элемент такой, что для всех

Всюду в дальнейшем К предполагается полем вещественных или комплексных чисел; называется тогда соответственно вещественным или комплексным линейным пространством.

0.3.2. Сумму -апхп, где называют линейной комбинацией элементов Последние называют линейно независимыми, если из всегда следует Линейное пространство называют -мерным, если в нем существуют линейно независимых элементов таких, что все элементы из представимы в виде их линейных комбинаций. Число называется размерностью и обозначается

0.3.3. Каждое подмножество линейного пространства содержащее вместе с любыми двумя своими элементами все их линейные комбинации само образует линейное пространство; его называют поэтому линейным подпространством пространства

0.3.4. Отправляясь от линейного подпространства линейного пространства можно каждому элементу отнести множество

Совокупность всех этих так называемых классов вычетов превращается в линейное пространство называемое:

факторпространством по если положить

и

0.3.5. Под линейной формой а на линейном пространстве над полем К понимают отображение, относящее каждому элементу число так, что

Если определить линейную комбинацию линейных форм а и формулой

то совокупность всех возможных линейных форм на превращается в линейное пространство его называют алгебраическим сопряженным к