Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава 4. ЯДЕРНЫЕ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВАЭту главу мы начинаем с определения ядерных локально выпуклых пространств, которые ввел в 1951 г. Гротендик [1] в рамках своей теории топологических тензорных произведений. Одним из важнейших результатов главы можно считать теорему Пича 4.2.4 (Пич [3]), содержащую как частный случай следующий критерий Гротендика: метрическое локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда в нем все суммируемые последовательности абсолютно суммируемы. Большое значение имеет вопрос, при каких предположениях сильное сопряженное к ядерному локально выпуклому пространству также ядерно. Теоремой 4.3.1 впервые дается для этого необходимое и одновременно достаточное условие. Чтобы лучше формулировать результаты этого круга проблем, мы в дальнейшем каждое локально выпуклое пространство, сильное сопряженное к которому ядерно, называем дуально-ядерным. В § 4.4 собраны самые разнообразные свойства ядерных локально выпуклых пространств; перечислять их по отдельности мы здесь не будем. 4.1. Определение ядерного локально выпуклого пространства4.1.1. В основу теории ядерных локально выпуклых пространств нами кладется Лемма. Следующие свойства системы
Доказательство. Прежде всего мы установим равносильность свойств, объединенных в Совершенно аналогично устанавливается равносильность свойств, объединенных в Предположим теперь, что в Совершенно аналогично доказывается, что 4.1.2. Локально выпуклое пространство называется ядерным, если в нем имеется фундаментальная система окрестностей нуля
Равносильность этих двух свойств устанавливается применением предыдущей леммы к системе подмножеств 4.1.3. Покажем теперь, что ядерность локально выпуклого пространства не зависит от выбора какой-либо специальной фундаментальной системы окрестностей нуля. Предложение. В ядерном локально выпуклом пространстве каждая фундаментальная система окрестностей нуля обладает свойствами Доказательство. Если
то каноническое отображение пространства 4.1.4. Дадим теперь еще одну характеризацию ядерных локально выпуклых пространств, без участия нормированных пространств Предложение. Локально выпуклое пространство
и
Доказательство. Поскольку сопряженное к нормированному пространству
равносильны. Но второе из них, в соединении с (1), означает, что каноническое отображение пространства 4.1.5. Совершенно аналогично доказывается Предложение. Локально выпуклое пространство
Доказательство. В силу теоремы 2.3.3 свойство 4.1.6. Если Предложение. Сильное сопряженное Локально выпуклое пространство 4.1.7. Из 4.1.3 непосредственно вытекает Предложение. В дуально-ядерном локально выпуклом пространстве каждая фундаментальная система ограниченных множеств обладает свойствами ядерными.
|
1 |
Оглавление
|