Глава 4. ЯДЕРНЫЕ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Эту главу мы начинаем с определения ядерных локально выпуклых пространств, которые ввел в 1951 г. Гротендик [1] в рамках своей теории топологических тензорных произведений.

Одним из важнейших результатов главы можно считать теорему Пича 4.2.4 (Пич [3]), содержащую как частный случай следующий критерий Гротендика: метрическое локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда в нем все суммируемые последовательности абсолютно суммируемы.

Большое значение имеет вопрос, при каких предположениях сильное сопряженное к ядерному локально выпуклому пространству также ядерно. Теоремой 4.3.1 впервые дается для этого необходимое и одновременно достаточное условие. Чтобы лучше формулировать результаты этого круга проблем, мы в дальнейшем каждое локально выпуклое пространство, сильное сопряженное к которому ядерно, называем дуально-ядерным.

В § 4.4 собраны самые разнообразные свойства ядерных локально выпуклых пространств; перечислять их по отдельности мы здесь не будем.

4.1. Определение ядерного локально выпуклого пространства

4.1.1. В основу теории ядерных локально выпуклых пространств нами кладется

Лемма. Следующие свойства системы замкнутых абсолютно выпуклых ограниченных подмножеств локально выпуклого пространства равносильны.

Для каждого множества существует множество такое, что В и каноническое отображение пространства в ядерно (соответственно квазиядерно, абсолютно суммирующее).

Для каждого множества существует множество такое, что В и каноническое отображение пространства ядерно (соответственно квазиядерно, абсолютно суммирующее).

Доказательство. Прежде всего мы установим равносильность свойств, объединенных в В самом деле, если мы знаем, что каноническое отображение пространства в ядерно, то в силу 3.2.5 и 3.2.13 оно подавно должно быть квазиядерным и абсолютно суммирующим. Обратно, если для множества существуют множества такие, что и канонические отображения квазиядерны или даже только абсолютно суммирующие, то каноническое отображение пространства в в силу 3.3.2 или 3.3.5 ядерно.

Совершенно аналогично устанавливается равносильность свойств, объединенных в

Предположим теперь, что в для каждого множества А существует множество В такое, что и каноническое отображение пространства ядерно. Если рассматривать нормированные пространства согласно 0.11.4, как подпространства пространств то каноническое отображение будет сужением отображения, дуального к и потому ядерного в силу 3.1.8. Следовательно, каноническое отображение пространства должно быть по крайней мере квазиядерным.

Совершенно аналогично доказывается, что влечет

4.1.2. Локально выпуклое пространство называется ядерным, если в нем имеется фундаментальная система окрестностей нуля обладающая следующими равносильными свойствами:

Для каждой окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что и каноническое отображение пространства на ядерно (соответственно квазиядерно, абсолютно суммирующее).

Для каждой окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что и каноническое отображение пространства в ядерно (соответственно квазиядерно, абсолютно суммирующее).

Равносильность этих двух свойств устанавливается применением предыдущей леммы к системе подмножеств локально выпуклого пространства

4.1.3. Покажем теперь, что ядерность локально выпуклого пространства не зависит от выбора какой-либо специальной фундаментальной системы окрестностей нуля.

Предложение. В ядерном локально выпуклом пространстве каждая фундаментальная система окрестностей нуля обладает свойствами

Доказательство. Если ядерное локально выпуклое пространство, то по определению существует фундаментальная система окрестностей нуля обладающая свойством Тогда, какова бы ни была другая фундаментальная система окрестностей нуля для каждого существует такое, что Выберем так, чтобы и каноническое отображение пространства на было ядерным, и затем так, чтобы Так как

то каноническое отображение пространства на будет ядерным. Тем самым мы показали, что фундаментальная система также обладает равносильными свойствами

4.1.4. Дадим теперь еще одну характеризацию ядерных локально выпуклых пространств, без участия нормированных пространств или

Предложение. Локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда некоторая (каждая) его фундаментальная система окрестностей нуля обладает следующим свойством.

Для всякой окрестности нуля существуют окрестность нуля и последовательность непрерывных линейных форм такие, что

и

Доказательство. Поскольку сопряженное к нормированному пространству отождествимо с неравенства (2) и

равносильны. Но второе из них, в соединении с (1), означает, что каноническое отображение пространства на квазиядерно. Следовательно, свойства для каждой фундаментальной системы окрестностей нуля равносильны.

4.1.5. Совершенно аналогично доказывается

Предложение. Локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда некоторая (каждая) его фундаментальная система окрестностей нуля обладает следующим свойством:

Для каждой окрестности нуля существуют окрестность нуля и положительная мера Радона на такие, что

Доказательство. В силу теоремы 2.3.3 свойство означает ровно то, что каноническое отображение пространства на абсолютно суммирующее.

4.1.6. Если фундаментальная система ограниченных подмножеств локально выпуклого пространства то поляры множеств образуют фундаментальную систему окрестностей нуля в сильном сопряженном Поэтому в силу леммы 4.1.1 справедливо

Предложение. Сильное сопряженное к локально выпуклому пространству ядерно тогда и только тогда, когда в существует фундаментальная система ограниченных множеств, обладающая равносильными свойствами

Локально выпуклое пространство сильное сопряженное к которому ядерно, условимся называть дуальноядерным.

4.1.7. Из 4.1.3 непосредственно вытекает

Предложение. В дуально-ядерном локально выпуклом пространстве каждая фундаментальная система ограниченных множеств обладает свойствами ядерными.