9.2. Диаметральная размерность локально выпуклых пространств

9.2.1. Пусть — произвольное локально выпуклое пространство и Пусть, далее, и

V — произвольные окрестности нуля из такие, что Для каждого будем называть -поперечником V относительно нижнюю грань множества всех положительных чисел для которых в существует подпространство размерности, не превышающей такое, что

Нетрудно видеть, что совпадает с -поперечником ограниченного подмножества

нормированного пространства

9.2.2. Диаметральной размерностью локально выпуклого пространства будем называть совокупность всех последовательностей неотрицательных вещественных чисел обладающих тем свойством, что для каждой окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что и

Легко видеть, что в этом определении можно заменить любой фундаментальной системой окрестностей нуля пространства

9.2.3. Как известно, локально выпуклые пространства называют изоморфными, если существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное линейное отображение пространства на Так как

то справедлива

Теорема. Если изоморфные локально выпуклые пространства, то

9.2.4. То, что диаметральную размерность локально выпуклого пространства действительно можно считать обобщением обычной размерности, показывает следующая

Теорема. Локально выпуклое пространство имеет размерность, не превышающую тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие.

содержит последовательность у которой

Доказательство. Если локально выпуклое пространство, размерность которого не превышает то для каждой окрестности нуля Следовательно, содержит все вообще последовательности у которых при при Если же размерность локально выпуклого пространства больше то существует линейно независимых элементов Так как множество

замкнуто и не содержит нулевого элемента, то существует окрестность нуля для которой . А тогда и элементы линейно независимы в ибо из равенства

следовало бы, что

Но для любой окрестности нуля удовлетворяющей условию существует положительное число такое, что

Тем самым мы показали, что ограниченное подмножество нормированного пространства содержит по меньшей мере линейно независимых элементов. Следовательно, в силу предложения для всех таких, что так что диаметральная размерность не может содержать никакой последовательности у которой бы

9.2.5. От разумно определенной размерности естественно ожидать, чтобы она служила мерой величины рассматриваемого пространства. К сожалению, до сих пор без дополнительных предположений не удалось доказать, что для каждого подпространства локально выпуклого пространства

Зато известно, что для каждого факторпространства выполняется соотношение

9.2.6. Проблема. При каких предположениях относительно локально выпуклого пространства имеет место равенство

9.2.7. Дуальной диаметральной размерностью локально выпуклого пространства мы называем совокупность всех последовательностей неотрицательных вещественных чисел обладающих тем свойством, что для каждого множества существует множество такое, что А В и

где есть -поперечник множества А относительно В, определенный точно так же, как в 9.2.1,

До сих пор неизвестно, всегда ли дуальная диаметральная размерность локально выпуклого пространства совпадает с диаметральной размерностью его сильного сопряженного.

Проблема. При каких предположениях относительно локально выпуклого пространства имеет место равенство