Глава 1. СУММИРУЕМЫЕ СЕМЕЙСТВА

Безусловно сходящиеся бесконечные ряды элементов банахова пространства рассматривал еще в 1929 г. Орлич [1], введший также понятие слабой безусловной сходимости. Но лишь в 1950 г. удалось установить, что в каждом бесконечномерном нормированном пространстве имеются безусловно сходящиеся ряды, не являющиеся абсолютно сходящимися (теорема Дворецкого — Роджерса 3.4.1).

Приведенное в 1.1.1 определение суммируемого числового семейства принадлежит Муру [1], показавшему, что бесконечный ряд вещественных или комплексных чисел безусловно сходится тогда и только тогда, когда он суммируем. Большим преимуществом этого определения является то, что оно применимо и к числовым семействам с более чем счетным множеством индексов. На семейства элементов нормированного пространства эти рассмотрения перенес Гильдебрандт [1].

В этой главе будут рассмотрены слабо суммируемые, суммируемые и абсолютно суммируемые семейства элементов произвольного локально выпуклого пространства. При этом окажется, что указанные семейства образуют линейные пространства, которые можно разумным образом наделить локально выпуклой топологией.

Большое значение будет иметь также вводимое в 1.5.5 свойство . А именно, теоремой 4.3.1 будет установлено, что лишь у ядерных локально выпуклых пространств, обладающих этим свойством, ядерно также их сильное сопряженное.

1.1. Суммируемые числовые семейства

1.1.1. Под числовым семейством мы понимаем множество вещественных или комплексных чисел однозначно отнесенных элементам некоторого множества индексов

Мы будем через обозначать множество всех конечных подмножеств множества Если в принять за отношение теоретико-множественное включение то конечные частичные суммы

любого числового семейства образуют направленную систему. Если эта направленная система сходится, то числовое семейство называется суммируемым. Однозначно определенный предел а направленной системы называется тогда суммой числового семейства и мы пишем

Если множество индексов конечно, то а, разумеется, совпадает с обычной суммой.

Следует подчеркнуть, что при определении а расположение чисел не играет никакой роли.

1.1.2. Лемма. Если для числового семейства существует положительное число такое, что

то

Доказательство. Пусть сначала -вещественное числовое семейство. В таком случае каждое множество (О можно разбить на две непересекающиеся части

Так как

то

Если же комплексное числовое семейство, то для вещественных числовых семейств поскольку

имеем неравенства

и, следовательно,

1.1.3. Теорема. Числовое семейство суммируемо тогда и только тогда, когда существует положительное число такое, что

Доказательство. Если суммируемое числовое семейство с суммой а, то существует множество такое, что для всех содержащих Тогда для любого справедлива оценка

Поэтому в силу леммы 1.1.2 для всех имеем

где правая часть постоянна.

Обратно, пусть для числового семейства существует положительное число такое, что

Тогда

Поэтому существует монотонно возрастающая последовательность множеств из таких, что

В силу (1) и (2)

Пусть

В силу (3) для всех натуральных чисел где имеем

Тем самым последовательность Коши и, значит, стремится к некоторому пределу а. Поэтому для каждого положительного числа 6 существует натуральное число такое, что Но тогда для всех множеств содержащих имеем

Тем самым мы доказали, что направленная система частичных сумм стремится к а.

1.1.4. Из теоремы 1.1.3 следует, что вместе с числовым семейством всегда должно быть суммируемым и числовое семейство так что существует также предел

Следовательно, утверждение, что числовое семейство суммируемо, можно выразить также неравенством

1.1.5. Предложение. Каждое суммируемое числовое семейство обладает не более чем счетным числом ненулевых членов.

Доказательство. В обозначениях из 1.1.3 положим

Тогда конечно или счетно, а для каждого индекса поскольку получаем из (3), что всех натуральных чисел Тем самым

1.1.6. Говорят, что числовое семейство сходится к нулю, если для каждого положительного числа 6 существует множество такое, что

Совокупность с, таких числовых семейств образует банахово пространство относительно операций

и нормы

Так как каждая непрерывная линейная форма х на представима в виде

где однозначно определенное суммируемое числовое семейство, то сопряженное к с, отождествимо с банаховым пространством всех суммируемых числовых семейств с нормой

Совершенно аналогично устанавливается, что сопряженное к отождествимо с банаховым пространством всех ограниченных числовых семейств.

Эти замечания дополняет следующая

Лемма. Если числовое семейство, обладающее тем свойством, что

то

Доказательство. Если бы

то существовала бы монотонно возрастающая последовательность множеств начинающаяся с такая, что

Тогда числовое семейство где при при принадлежало бы так что должно было бы выполняться неравенство

Но это невозможно, поскольку

1.1.7. Числовое семейство называется квадратично суммируемым, если

Совокупность таких числовых семейств образует относительно операций

линейное пространство, на котором можно ввести скалярное произведение

где правая часть существует в силу неравенства Гёльдера

справедливого для всякой пары квадратично суммируемых семейств. Можно показать, что полно в локально выпуклой топологии, порождаемой нормой

определяемой этим скалярным произведением. Тем самым гильбертово пространство.

Отметим еще следующий факт.

Лемма. Если числовое семейство, обладающее тем свойством, что

то