2.2. Абсолютно суммирующие отображения нормированных пространств

2.2.1. В этом разделе будут всюду предполагаться нормированными пространствами с единичными шарами

Предложение. Непрерывное линейное отображение пространства является абсолютно суммирующим тогда и только тогда, когда существует, число такое, что

для всех конечных семейств из

Доказательство. В силу теоремы 2.1.2 для каждого абсолютно суммирующего отображения существует положительное число такое, что для всех семейств Для которых откуда

Поскольку каждое конечное семейство можно дополнить до семейства положив для всех необходимость сформулированного условия тем самым доказана.

Обратно, если для непрерывного линейного отображения существует число обладающее требуемым

свойством, то для всех конечных подсемейств суммируемого семейства имеют место неравенства

Но тогда и

так что переводит все суммируемые семейства в абсолютно суммируемые.

2.2.2. Пусть произвольное абсолютно суммирующее отображение пространства Будем через обозначать нижнюю грань множества всех чисел обладающих рассмотренным в 2.2.1 свойством. Легко убедиться в том, что совпадает с нормой отображения и что

для всех слабо суммируемых семейств с любым множеством индексов

2.2.3. Мы будем обозначать через совокупность всех абсолютно суммирующих отображений пространства

Предложение. есть линейное пространство с нормой

Доказательство. Наше утверждение непосредственно вытекает из следующих соотношений:

где любые абсолютно суммирующие отображения пространства любое вещественное или комплексное число.

2.2.4. Лемма. Если - система Коши в и существует отображение такое, что для всех

Доказательство. Для всякого заданного положительного числа существует такое, что

Тогда для каждого конечного семейства из имеем неравенство

из которого в пределе получаем для всех равенство

Следовательно, отображение а тем самым и принадлежит Так как тогда, кроме того, для всех мы доказали также, что

В качестве простого следствия доказанной только что леммы получаем

Предложение. -нормированное, -банахово пространства, то банахово пространство.

2.2.5. Пусть нормированные пространства с замкнутыми единичными шарами

Предложение. (1) Если то причем

(2) Если причем

Доказательство. В силу предложения 2.2.1 наше утверждение вытекает из следующих неравенств, справедливых для каждого конечного семейства