0.11. Нормированные пространства, ассоциированные с локально выпуклым

0.11.1. Пусть произвольная замкнутая абсолютно выпуклая окрестность нуля в локально выпуклом пространстве Тогда

— линейное подпространство в Класс вычетов из фактор-пространства соответствующий элементу мы будем обозначать и условимся всегда наделять линейное пространство топологией, определяемой нормой

0.11.2. Каково бы ни было замкнутое абсолютно выпуклое ограниченное множество А в локально выпуклом пространстве

есть линейное подпространство в и мы условимся всегда наделять его топологией, определяемой нормой

0.11.3. Какова бы ни была окрестность нуля каждая линейная форма порождает на непрерывную линейную форму а, определяемую формулой

и имеющую норму

Так как таким способом получаются все линейные формы то сильное сопряженное отождествимо с банаховым пространством

0.11.4. Каково бы ни было множество каждая линейная форма порождает линейную форму а определяемую формулой

и имеющую норму

Поэтому, отождествляя класс вычетов с линейной формой а, можно считать нормированное пространство подпространством пространства

Но и нормированное пространство может рассматриваться как подпространство пространства Для этого нужно каждому элементу поставить в соответствие линейную форму определяемую формулой

и имеющую норму

0.11.5. Пусть абсолютно выпуклые множества в Если существует положительное число такое, что то мы будем писать (и читать: поглощает или поглощается множеством . Очевидно, определенное так отношение транзитивно.

Для окрестностей нуля таких, что можно определить каноническое отображение пространства на относя каждому классу вычетов однозначно определенный класс вычетов содержащий

С другой стороны, для ограниченных множеств из таких, что имеем и каноническое отображение пространства в задается формулой

Наконец, для любых и имеем и можно определить каноническое отображение

пространства в положив