9.5. Характеризация дуально-ядерных локально выпуклых пространств

9.5.1. Для каждой стремящейся к нулю последовательности элементов локально выпуклого пространства положим

Можно показать, что есть наименьшее замкнутое абсолютно выпуклое множество в содержащее все

9.5.2. Теорема. Локально выпуклое пространство дуально-ядерно тогда и только тогда, когда для каждого его ограниченного подмножества А существует вполне суммируемое семейство в такое, что

Необходимость. Без ограничения общности можна предполагать, что Поскольку дуально-ядерно, существует множество такое, что и каноническое отображение пространства в есть отображение типа В силу предложения 8.4.2 тогда существуют линейные формы из замкнутого единичного шара пространства элементы и числа такие, что

и

Положим Так как тогда

то семейство вполне суммируемо. И при этом каждый элемент представим в виде

Достаточность. Пусть для произвольного множества существует вполне суммируемое семейство в такое, что

Тогда должно существовать множество для которого

причем надлежащей перестановкой множества можно добиться, чтобы последовательность чисел была монотонно убывающей. Представим теперь каждый элемент в виде

И положим

Тогда

Пусть подпространство в порожденное элементами Так как

то

Поскольку тем самым доказано, что

и потому

Таким образом, так что в силу теоремы 9.4.2 дуально-ядерно.

9.5.3. Последовательность элементов локально выпуклого пространства называется быстро убывающей, если каждая последовательность ограниченна.

Применением идеи, развитой и Комура [1], по-видимому, можно установить следующую теорему, которую мы докажем здесь только для случая метрического локально выпуклого пространства.

Теорема. Локально выпуклое пространство дуально-ядерно тогда и только тогда, когда для каждого его ограниченного подмножества А существует быстро убывающая последовательность в такая, что

Необходимость. Без ограничения общности можно предполагать, что По теореме 8.6.5 существует множество такое, что и каноническое отображение пространства есть отображение типа В силу теоремы 8.5.6 тогда существуют линейные формы из замкнутого единичного шара пространства элементы и быстро убывающая числовая последовательность такие, что

Положим

Тогда быстро убывающая последовательность и притом каждый элемент представим в виде

Достаточность условия теоремы вытекает из теорем 4.3.3 и 9.5.2, поскольку каждая быстро убывающая последовательность вполне суммируема.