Положим
Так как тогда
то семейство
вполне суммируемо. И при этом каждый элемент
представим в виде
Достаточность. Пусть для произвольного множества
существует вполне суммируемое семейство
в
такое, что
Тогда должно существовать множество
для которого
причем надлежащей перестановкой множества
можно добиться, чтобы последовательность чисел
была монотонно убывающей. Представим теперь каждый элемент
в виде
И положим
Тогда
Пусть
подпространство в
порожденное элементами
Так как
то
Поскольку
тем самым доказано, что
и потому
Таким образом,
так что
в силу теоремы 9.4.2 дуально-ядерно.
9.5.3. Последовательность
элементов локально выпуклого пространства
называется быстро убывающей, если каждая последовательность
ограниченна.
Применением идеи, развитой
и
Комура [1], по-видимому, можно установить следующую теорему, которую мы докажем здесь только для случая метрического локально выпуклого пространства.
Теорема. Локально выпуклое пространство
дуально-ядерно тогда и только тогда, когда для каждого его ограниченного подмножества А существует быстро убывающая последовательность
в
такая, что
Необходимость. Без ограничения общности можно предполагать, что
По теореме 8.6.5 существует множество
такое, что
и каноническое отображение пространства
есть отображение типа
В силу теоремы 8.5.6 тогда существуют линейные формы
из замкнутого единичного шара пространства
элементы
и быстро убывающая числовая последовательность
такие, что
Положим
Тогда
быстро убывающая последовательность и притом каждый элемент
представим в виде
Достаточность условия теоремы вытекает из теорем 4.3.3 и 9.5.2, поскольку каждая быстро убывающая последовательность вполне суммируема.