2.4. Специальное абсолютно суммирующее отображение

2.4.1. Нам понадобится для дальнейшего одно неравенство из теории ортогональных рядов. Рассмотрим функции Радемахера на интервале [0, 1], определяемые для

равенствами

Для этих функций выполняются соотношения ортогональности

Действительно, если то всюду, кроме конечного числа значений Если же то без ограничения общности можно считать, что и так как функции на интервалах

по определению равны то

Совершенно так же доказывается, что интегралы

принимают значения 1 или 0 в зависимости от того, распадается или нет четверка на две пары равных чисел.

Пусть произвольные вещественные или комплексные числа. Положим

Так как

то

Поэтому, применяя неравенство Гёльдера с сопряженными показателями 3/2 и 3, находим, что

откуда с помощью простого преобразования получаем неравенство Хитина

2.4.2. Рассмотрим теперь наряду с банаховым пространством где произвольное множество индексов, также гильбертово пространство квадратично суммируемых числовых семейств с нормой

Предложение. Тождественное отображение пространства является абсолютно суммирующим, причем

Доказательство. Пусть замкнутый единичный шар пространства произвольное

множество из Формула

определяет на непрерывные линейные формы лежащие в замкнутом единичном шаре пространства Рассмотрим теперь конечное семейство где в для каждого выполняется неравенство

Суммируя по и принимая во внимание, что получаем

Поскольку это верно для всех имеем также

Тем самым в силу 2.2.1 - абсолютно суммирующее отображение, причем

2.4.3. Так как два различных семейства отстоят друг от друга в на расстояние то образ в случае более чем счетного множества индексов не может быть сепарабельным. Следовательно, справедливо

Предложение. Существуют абсолютно суммирующие отображения с несепарабельным образом.

2.4.4. Поскольку замкнутый единичный шар пространства не предкомпактен в ни для какого бесконечного множества индексов получаем также следующее

Предложение. Существуют абсолютно суммирующие отображения, не являющиеся предкомпактными.

2.4.5. Наконец, из 2.4.4 непосредственно вытекает

Предложение. Существуют абсолютно суммирующие отображения, не аппроксимируемые конечномерными по норме .

2.4.6. Пусть тождественное отображение пространства Тогда тождественные отображения соответственно Покажем, что не абсолютно суммирующие отображения. Рассмотрим для этого числовые семейства Так как каждая линейная форма а представима в виде

то, полагая имеем неравенство

Следовательно, семейство в слабо суммируемо. Поэтому если бы отображение или было абсолютно суммирующим, то семейство (соответственно было бы абсолютно суммируемым в (соответственно в Но это невозможно, поскольку

Принимая во внимание, что, как установлено в 2.4.2, отображение абсолютно суммирующее, получаем

Предложение. Существуют абсолютно суммирующие (не абсолютно суммирующие) отображения, обладающие не абсолютно суммирующим (абсолютно суммирующим) дуальным.