8.6. Характеризация ядерных локально выпуклых пространств

8.6.1. Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда для некоторого (каждого) положительного числа справедливо следующее утверждение:

Для каждой окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что и каноническое отображение пространства на есть отображение типа

Необходимость. Для каждой окрестности нуля существуют окрестности нуля такие, что и канонические отображения абсолютно суммирующие. Положим Из теоремы 8.2.7 следует тогда,

— отображение типа поскольку в правой части произведение каждых двух соседних абсолютно суммирующих отображений есть по теореме 8.4.5 отображение типа Каково бы теперь ни было положительное число можно взять и тогда каноническое отображение будет отображением типа

Достаточность. Пусть сформулированное в теореме утверждение справедливо для любого положительного числа Тогда для каждой окрестности нуля и каждого натурального числа существуют окрестности нуля такие, что и канонические отображения являются отображениями типа Возьмем и положим В силу теоремы 8.2.7

будет тогда отображением типа значит, по теореме 8.4.3 ядерным, поскольку

8.6.2. Для дуально-метрических локально выпуклых пространств справедлива даже следующая

Теорема. Дуально-метрическое локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда для каждой окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что и каноническое отображение пространства на есть отображение типа

Доказательство. Достаточность указанного условия непосредственно следует из теоремы 8.6.1, так что остается доказать лишь его необходимость. Выберем для этого последовательность окрестностей нуля так, чтобы и каноническое отображение пространства на было отображением типа и пусть возрастающая фундаментальная последовательность ограниченных множеств в Тогда существуют положительные числа такие, что Образуем замкнутое абсолютно выпуклое множество

Так как

то для каждого ограниченного множества существует положительное число такое, что Но ядерное дуально-метрическое пространство в силу леммы 4.4.12 квазибочечно. Следовательно, V должно быть окрестностью нуля в Я. А тогда каноническое отображение пространства на есть отображение типа ибо оно для каждого представимо в виде

8.6.3. Как легко убедиться на примере пространства последовательностей не во всяком ядерном метрическом локально выпуклом пространстве для любой окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что и каноническое отображение пространства на есть отображение типа 5.

8.6.4. Такими же рассуждениями, что и в 8.6.1, доказывается

Теорема. Локально выпуклое пространство дуально-ядерно тогда и только тогда, когда для некоторого (каждого) положительного числа справедливо следующее утверждение:

Для каждого множества существует множество такое, что В и каноническое отображение пространства есть отображение типа

8.6.5. Дуальным аналогом теоремы 8.6.2 служит

Теорема. Метрическое локально выпуклое пространство дуально-ядерно тогда и только тогда, когда для каждого множества существует множество такое, что В и каноническое отображение пространства есть отображение типа

8.6.6. Существенным уточнением предложения 4.4.3 является

Предложение. Для ядерного или дуально-ядерного локально выпуклого пространства все канонические отображения представляют собой отображения типа

Доказательство. Пусть V — произвольная окрестность нуля из такая, что Тогда

Но в случае, когда ядерно, для каждого положительного числа можно в силу теоремы 8.6.1 выбрать V так, чтобы а тем самым и было отображением типа Следовательно, должно быть отображением типа

Для случая дуально-ядерного доказательство проводится аналогично путем представления канонического отображения ввиде

с надлежаще выбранным множеством

8.6.7. Наконец, справедливо следующее дополнение к теореме 4.4.6.

Теорема. Метрическое или дуально-метрическое локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда все канонические отображения являются отображениями типа