2.3. Характеризация абсолютно суммирующих отображений нормированных пространств

2.3.1. Пусть нормированное пространство с замкнутым единичным шаром Слабо компактное множество будет называться существенным, если

Как известно, все множество всегда существенно. Имеются, однако, случаи, когда можно выбрать значительно меньшим. Так, например, для банахова пространства всех непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве множество всех мер Дирака определяемых формулой

существенно.

2.3.2. Произведение экземпляров вещественного единичного интервала или комплексного единичного круга А в силу теоремы Тихонова 0.1.10 компактно. Если, кроме того, произвольное существенное множество в то компактное хаусдорфово пространство.

Лемма. Для каждого семейства функция на определяемая формулой

принадлежит , причем

Доказательство. Для каждого положим

Так как для всякого положительного числа существует множество такое, что

откуда

то непрерывные функции на равномерно сходятся к Поэтому и непрерывная функция. Так как при этом

для всех , то

С другой стороны, выбрав для каждой линейной формы вещественные или комплексные числа так, чтобы будем для всякого иметь

Поскольку

получаем тогда в пределе, что

Но это означает, что

и в соединении с предыдущим доказывает утверждаемое равенство.

2.3.3. Пусть нормированные пространства с замкнутыми единичными шарами произвольное существенное множество в

Теорема. Отображение является абсолютно суммирующим тогда и только тогда, когда на существует положительная мера Радона такая, что

Пусть совокупность всех таких мер Радона. Тогда

причем содержит хотя бы одну меру для которой

Доказательство. Возьмем произвольное множество индексов допускающее отображение на Если абсолютно суммирующее отображение пространства то формула

задает непрерывную линейную форму а на ибо

Но отождествляя на основании предыдущей леммы семейства с соответствующими функциями можно считать подпространством пространства Следовательно, по теореме Хана — Банаха 0.4.4, на существует линейная форма (мера Радона) не превосходящая по норме и такая, что

Искомую положительную меру Радона мы получим теперь, положив

причем будем иметь

Подставив в (2) семейство с произвольным получим тождество

откуда

А так как, по предположению, для каждой линейной формы существует индекс при котором то

Но тем самым доказано, что

Обратно, пусть для отображения существует такая положительная мера Радона на что

Тогда для каждого конечного семейства из имеем

и, значит, в силу 2.2.1 Т - абсолютно суммирующее отображение. Так как при этом

то установлено также неравенство

Но в начале доказательства для каждого абсолютно суммирующего отображения была построена мера Радона удовлетворяющая неравенству (4). Следовательно, в (4) и (5) должен стоять на самом деле знак равенства.

2.3.4. Беря произвольное компактное хаусдорфово пространство получаем из предыдущей теоремы как частный случай следующее

Предложение. Непрерывное линейное отображение пространства в нормированное пространство является абсолютно суммирующим тогда и только тогда, когда на существует положительная мера Радона такая, что

Доказательство. Наше утверждение непосредственно вытекает из того отмеченного в 2.3.1 факта, что отождествимо с существенным множеством всех мер Дирака При этом следует еще принять во внимание, что слабая топология, индуцируемая в из в силу 0.1.9 совпадает с исходной.