Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 9.8. Аппроксимативная размерность ядерных локально выпуклых пространств9.8.1. Пусть
В случае, когда положительных чисел
9.8.2. Лемма. Если
Доказательство. Ограничимся случаем, когда порядки
Положив
будем иметь
Зафиксировав какое-нибудь
и
Тогда
и, следовательно,
Поэтому может существовать не более
ибо в противном случае по меньшей мере два различных элемента
откуда вытекало бы, что
Следовательно,
для всех
откуда в пределе при 9.8.3. Теперь уже может быть доказана Теорема. Локально выпуклое пространство Для каждой окрестности нуля Доказательство. Каждое комплексное локально выпуклое пространство Прежде всего покажем, что если сформулированное условие выполнено для какого-то положительного числа
и положим
Тем самым Необходимость. По теореме 9.4.1 в ядерном локально выпуклом пространстве такая, что
Пусть
Тогда
и в силу леммы 1 из 9.6.3
Выбрав теперь положительное число
будем иметь
Тем самым мы показали, что условию теоремы удовлетворяет число 2. Достаточность. Рассмотрим локально выпуклое пространство
Если
В самом деле, допустим, что
для некоторого натурального числа
Беря здесь
и используя оценки
получаем неравенство, которое после умножения на
Выберем наконец положительное число так, чтобы выполнялись неравенства
Тогда будем иметь
и в силу теоремы 9.4.1 Е ядерно. 9.8.4. Из 9.8.3 непосредственно вытекает Теорема. Локально выпуклое пространство
для некоторого (каждого) положительного числа 9.8.5. Если определить порядок Теорема. Локально выпуклое пространство Для каждого множества 9.8.6. Сформулируем также аналог теоремы 9.8.4. Теорема. Локально выпуклое пространство В дуально-ядерно тогда и только тогда, когда
для некоторого (каждого) положительного числа 9.8.7. В заключение заметим, что, каково бы ни было локально выпуклое пространство
легко показать с помощью теоремы 9.8.3, что в ядерном локально выпуклом пространстве Без доказательства отметим еще, что справедлива Теорема. Метрическое или дуально-метрическое локально выпуклое пространство
|
1 |
Оглавление
|