9.8. Аппроксимативная размерность ядерных локально выпуклых пространств

9.8.1. Пусть произвольное локально выпуклое пространство и произвольные окрестности нуля из такие, что Назовем порядком V относительно нижнюю грань множества всех положительных чисел для которых существует положительное число такое, что

В случае, когда положительных чисел обладающих указанным свойством, нет, положим Легко убедиться в том, что

9.8.2. Лемма. Если то

Доказательство. Ограничимся случаем, когда порядки конечны, и рассмотрим любые числа удовлетворяющие неравенствам

Положив

будем иметь Тогда найдется положительное число такое, что для всех чисел будут выполняться неравенства

Зафиксировав какое-нибудь рассмотрим максимальные системы элементов

и

Тогда

и, следовательно,

Поэтому может существовать не более элементов таких, что

ибо в противном случае по меньшей мере два различных элемента попали бы в одно и то же множество

откуда вытекало бы, что

Следовательно,

для всех Но тем самым доказано, что

откуда в пределе при и получается утверждаемое неравенство.

9.8.3. Теперь уже может быть доказана

Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда для некоторого (каждого) положительного числа выполняется следующее условие:

Для каждой окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что

Доказательство. Каждое комплексное локально выпуклое пространство можно естественным образом рассматривать и как вещественное. А так как числа и ядерность пространства определяются без упоминания поля скаляров, то мы можем ограничиться в дальнейшем рассмотрением вещественных локально выпуклых пространств.

Прежде всего покажем, что если сформулированное условие выполнено для какого-то положительного числа то оно выполнено для всех положительных чисел вообще. Для этого возьмем произвольную окрестность нуля выберем окрестности нуля так, чтобы

и положим Если при этом взято столь большим, что то в силу леммы 9.8.2

Тем самым и наше утверждение доказано.

Необходимость. По теореме 9.4.1 в ядерном локально выпуклом пространстве для каждой окрестности нуля существует окрестность нуля

такая, что и

Пусть произвольное положительное число, то число из для которого

Тогда

и в силу леммы 1 из 9.6.3

Выбрав теперь положительное число так, чтобы

будем иметь

Тем самым мы показали, что условию теоремы удовлетворяет число 2.

Достаточность. Рассмотрим локально выпуклое пространство в котором для каждой окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что Тогда существует положительное число обладающее тем свойством, что

Если натуральное число, для которого то

В самом деле, допустим, что

для некоторого натурального числа В силу леммы 2 из 9.6.3 получим тогда неравенства

Беря здесь

и используя оценки

получаем неравенство, которое после умножения на и логарифмирования приведет к абсурдному неравенству

Выберем наконец положительное число так, чтобы выполнялись неравенства

Тогда будем иметь

и в силу теоремы 9.4.1 Е ядерно.

9.8.4. Из 9.8.3 непосредственно вытекает

Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда

для некоторого (каждого) положительного числа

9.8.5. Если определить порядок для множеств , где совершенно так же. как в 9.8.1, то будет справедлива

Теорема. Локально выпуклое пространство дуально-ядерно тогда и только тогда, когда некоторое (каждое) положительное число удовлетворяет следующему условию:

Для каждого множества существует множество такое, что

9.8.6. Сформулируем также аналог теоремы 9.8.4.

Теорема. Локально выпуклое пространство В дуально-ядерно тогда и только тогда, когда

для некоторого (каждого) положительного числа

9.8.7. В заключение заметим, что, каково бы ни было локально выпуклое пространство для каждого множества и каждой окрестности нуля существует конечная -емкость определенная как верхняя грань множества всех натуральных чисел для которых существуют элементы такие, что при Положив, как в 9.8.1,

легко показать с помощью теоремы 9.8.3, что в ядерном локально выпуклом пространстве всегда То же верно и для дуально-ядерных пространств.

Без доказательства отметим еще, что справедлива

Теорема. Метрическое или дуально-метрическое локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда для всех