7.3. Характеризация ядерных локально выпуклых пространств

7.3.1. Из теоремы -4.2.4 и предложения как непосредственное следствие вытекает

Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда

для некоторого (каждого) множества индексов

7.3.2. В качестве важного дополнения к этой характеризации ядерных локально выпуклых пространств докажем

Предложение. Если —ядерное локально выпуклое пространство, то

для всякого локально выпуклого пространства

Доказательство. Для произвольной окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что и каноническое отображение пространства на ядерно. Тогда существуют линейные формы и элементы такие, что

и

Какова бы ни была окрестность нуля в силу теоремы Хана—Банаха для каждого элемента

существует непрерывная линейная форма с на такая, что

и

В частности, тогда для всех элементов имеем

И в силу (1)

Следовательно,

откуда вытекает, что

Наконец, из определения преднормы следует, что

для всех линейных форм Поэтому

Поскольку 20 — произвольный элемент из имеем

Таким образом, -топология в алгебраическом тензорном произведении мажорирует -топологию, а тогда эти топологии в силу 7.1.3 должны совпадать.

7.3.3. Комбинируя теорему 7.3.1 с предложением 7.3.2, приходим к следующему результату.

Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда

для любого локально выпуклого пространства

7.3.4. Можно задаться вопросом: какими свойствами должно обладать локально выпуклое пространство чтобы

только для ядерных локально выпуклых пространств Ясно, что само должно быть не ядерным. Будет ли это условие также достаточно, до сих пор неизвестно.

В частности, возникает

Проблема. Будет ли ядерным локально выпуклое пространство для которого