Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3.2. Квазиядерные отображения нормированных пространств3.2.1. Если 3.2.2. Покажем, что если Лемма. Если
и
Доказательство. В силу предположения в
Положив
А так как
и
то, кроме того,
Легко видеть, что каждое ядерное отображение Предложение. Пусть Доказательство. Так как
и
Основываясь на предыдущей лемме, возьмем теперь элементы
Положив
причем
Следовательно, 3.2.3. Пусть
и
Для каждого квазиядерного отображения
где нижняя грань берется по всем последовательностям линейных форм 3.2.4. Из определения квазиядерных отображений непосредственно следует, что они не обладают скверным свойством ядерных отображений, отмеченным в 3.2.1. 3.2.6. Перейдем к исследованию связей между ядерными и квазиядерными отображениями. В качестве первого результата получаем следующее Предложение. Каждое ядерное отображение Доказательство. Пусть формы
и
Положив теперь
И так как справедливо также неравенство
то Т квазиядерно, причем 3.2.6. Для доказательства следующей теоремы понадобится некоторая подготовка. Лемма Доказательство. Пусть
Поэтому Лемма 2. Каждое непрерывное линейное отображение Доказательство. Отображению
причем
и определит искомое отображение 5. Теорема. Каждое квазиядерное отображение Доказательство. Так как
и
Пусть
определяет непрерывное линейное отображение
В силу леммы 2 это отображение может быть продолжено до непрерывного линейного отображения в
Тогда
Поскольку
А так как
то 3.2.7. Объединяя результаты, найденные в 3.2.5 и 3.2.6, получаем следующее Предложение. Непрерывное линейное отображение нормированного пространства 3.2.8. Будем через Предложение. Доказательство. Справедливость предложения непосредственно, следует из того, что в силу теоремы 3.2.9. Используя соображение, примененное при доказательстве предложения 3.2.8, получаем из 3.1.3 следующее Предложение. Если 3.2.10. Предл ожение. Каждое квазиядерное отображение пред компактно. Доказательство. Поскольку каждое 3.2.11. Из 3.2.10 и 0.10.6 непосредственно вытекает Предложение. Каждое квазиядерное отображение обладает сепарабельным образом. 3.2.12. Пусть Предложение. (1) Если
(2) Если
3.2.13. В заключение исследуем связь между квазиядерными и абсолютно суммирующими отображениями. Предложение. Каждое квазиядерное отображение Доказательство. Пусть
и
Положим
Тогда формула
будет определять положительную меру Радона
Следовательно, отображение
откуда 3.2.14. Можно показать, что для квазиядерных отображений
Более того, как оказалось,
|
1 |
Оглавление
|