3.2. Квазиядерные отображения нормированных пространств

3.2.1. Если подпространство нормированного пространства О, то каждое непрерывное линейное отображение пространства можно рассматривать также как отображение При этом может случиться, что не принадлежит но ядерно как отображение

3.2.2. Покажем, что если плотно в такая патологическая ситуация невозможна. Для этого нам понадобится следующая

Лемма. Если плотное подпространство нормированного пространства О, то для каждого элемента при любом заданном положительном числе существует такая последовательность элементов что

и

Доказательство. В силу предположения в существуют элементы такие, что

Положив для получим, что

А так как

и

то, кроме того,

Легко видеть, что каждое ядерное отображение пространства есть также ядерное отображение в его -нормы в мы будем для различения обозначать соответственно Теперь мы уже можем доказать следующее

Предложение. Пусть плотное подпространство нормированного пространства Если непрерывное линейное отображение нормированного пространства и то причем

Доказательство. Так как ядерное отображение пространства в О, то для каждого положительного числа 6 существуют линейные формы и элементы такие, что

и

Основываясь на предыдущей лемме, возьмем теперь элементы удовлетворяющие условиям

Положив получим, что

причем

Следовательно, ядерно также как отображение пространства и при получаем в пределе неравенство Тем самым наше утверждение полностью доказано, ибо неравенство следует непосредственно из определения -нормы.

3.2.3. Пусть произвольные нормированные пространства с замкнутыми единичными шарами Отображение мы будем называть квазиядерным, если существует такая последовательность линейных форм что

и

Для каждого квазиядерного отображения положим

где нижняя грань берется по всем последовательностям линейных форм обладающим указанным свойством.

3.2.4. Из определения квазиядерных отображений непосредственно следует, что они не обладают скверным свойством ядерных отображений, отмеченным в 3.2.1.

3.2.6. Перейдем к исследованию связей между ядерными и квазиядерными отображениями. В качестве первого результата получаем следующее

Предложение. Каждое ядерное отображение квазиядерно, причем

Доказательство. Пусть Тогда для каждого положительного числа 6 существуют линейные

формы и элементы такие, что

и

Положив теперь будем иметь

И так как справедливо также неравенство

то Т квазиядерно, причем . В силу произвольной малости наше утверждение полностью доказано.

3.2.6. Для доказательства следующей теоремы понадобится некоторая подготовка.

Лемма Каждое нормированное пространство есть подпространство некоторого банахова пространства

Доказательство. Пусть произвольное множество индексов, допускающее отображение на , где V — замкнутый единичный шар пространства Относя каждому элементу семейство будем иметь

Поэтому можно рассматривать как подпространство пространства

Лемма 2. Каждое непрерывное линейное отображение подпространства нормированного пространства в банахово пространство можно продолжить до непрерывного линейного отображения пространства О в ипритом так, чтобы

Доказательство. Отображению соответствуют такие непрерывные линейные формы , что

причем в силу теоремы Хана-Банаха 0.4.4 линейные формы можно продолжить с сохранением нормы до линейных форм определенных на всем О. А тогда формула

и определит искомое отображение 5.

Теорема. Каждое квазиядерное отображение нормированного пространства в нормированное пространство рассматриваемое как отображение пространства в банахово пространство содержащее ядерно, причем

Доказательство. Так как квазиядерно, то для каждого положительного числа существует такая последовательность линейных форм что

и

Пусть подпространство пространства 1%, образованное всеми семействами Формула

определяет непрерывное линейное отображение пространства с нормой ибо

В силу леммы 2 это отображение может быть продолжено до непрерывного линейного отображения просфанства

в с нормой Пусть

Тогда представимо в виде

Поскольку отображение принимает тем самым вид

А так как

то рассматриваемое как отображение пространства в ядерно, причем откуда в силу произвольной малости следует, что Но тогда в силу

3.2.7. Объединяя результаты, найденные в 3.2.5 и

3.2.6, получаем следующее

Предложение. Непрерывное линейное отображение нормированного пространства в нормированное пространство квазиядерно тогда и только тогда, когда оно ядерно как отображение в некоторое нормированное пространство содержащее

3.2.8. Будем через обозначать совокупность всех квазиядерных отображений пространства

Предложение. есть линейное пространство с нормой

Доказательство. Справедливость предложения непосредственно, следует из того, что в силу теоремы можно считать линейным подпространством пространства

3.2.9. Используя соображение, примененное при доказательстве предложения 3.2.8, получаем из 3.1.3 следующее

Предложение. Если нормированное, банахово пространства, то банахово пространство.

3.2.10. Предл ожение. Каждое квазиядерное отображение пред компактно.

Доказательство. Поскольку каждое ядерно и тем самым предкомпактно как отображение пространства в оно должно быть предкомпактным и как отображение

3.2.11. Из 3.2.10 и 0.10.6 непосредственно вытекает

Предложение. Каждое квазиядерное отображение обладает сепарабельным образом.

3.2.12. Пусть — нормированные пространства.

Предложение. (1) Если и причем

(2) Если причем

3.2.13. В заключение исследуем связь между квазиядерными и абсолютно суммирующими отображениями.

Предложение. Каждое квазиядерное отображение —абсолютно суммирующее, причем

Доказательство. Пусть Тогда для каждого положительного числа 6 существует такая последовательность линейных форм что

и

Положим

Тогда формула

будет определять положительную меру Радона на причем

Следовательно, отображение в силу теоремы 2.3.3 — абсолютно суммирующее. При этом

откуда в силу произвольной малости 6.

3.2.14. Можно показать, что для квазиядерных отображений справедливо даже равенство

Более того, как оказалось, для широкого класса нормированных пространств образовано теми и только теми абсолютно суммирующими отображениями, которые аппроксимируемы конечномерными по норме . В качестве уточнения теоремы 2.5.5 отсюда, в частности, получается, что все отображения Гильберта — Шмидта квазиядерны. По поводу доказательства этих утверждений см. Пич [8].