0.12. Мера Радона

0.12.1. Совокупность всех непрерывных вещественных или комплексных функций заданных на компактном хаусдорфовом пространстве является линейным пространством относительно операций

и притом банаховым при введении нормы

Кроме того, обладает тем свойством, что если то и

0.12.2. Мерами Радона на называются непрерывные линейные формы на Пусть множество всех функций таких, что для всех Мера Радона называется положительной, если для всех Для положительной меры Радона справедлива оценка

а для нормы меры которая будет обозначаться имеет место формула

0.12.3. Пусть произвольная мера Радона. Формула

определяет на вещественную функцию обладающую следующими свойствами:

Эта функция однозначно продолжаема до положительной меры Радона, которую мы также будем обозначать При этом

0.12.4. Каждой положительной мере Радона отвечает однозначно определенное -кольцо так называемых -измеримых подмножеств рассматриваемого компактного хаусдорфова пространства Всякому множеству сопоставляется тогда неотрицательное число называемое мерой множества А. Так как значение для любой непрерывной функции может быть вычислено с помощью процесса интегрирования по указанной функции множества, то в дальнейшем число будет записываться большей частью в виде

0.12.5. Каждая положительная мера Радона порождает на полускалярное произведение

с соответствующей преднормой

Пополнение факторпространства по линейному подпространству нормированного как описано в 0.11.1, дает гильбертово пространство элементы которого можно интерпретировать как классы вычетов некоторых вещественных или комплексных функций при этом две функции принадлежат одному и тому же классу тогда и только тогда, когда они отличаются друг от друга лишь на множестве

0.12.6. Функцию на И определенную условиями для всех для всех называют характеристической функцией множества Классы вычетов так называемых -ступенчатых функций

образуют в плотное линейное подпространство.