Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
0.12. Мера Радона
0.12.1. Совокупность всех непрерывных вещественных или комплексных функций заданных на компактном хаусдорфовом пространстве является линейным пространством относительно операций
и притом банаховым при введении нормы
Кроме того, обладает тем свойством, что если то и
0.12.2. Мерами Радона на называются непрерывные линейные формы на Пусть множество всех функций таких, что для всех Мера Радона называется положительной, если для всех Для положительной меры Радона справедлива оценка
а для нормы меры которая будет обозначаться имеет место формула
0.12.3. Пусть произвольная мера Радона. Формула
определяет на вещественную функцию обладающую следующими свойствами:
Эта функция однозначно продолжаема до положительной меры Радона, которую мы также будем обозначать При этом
0.12.4. Каждой положительной мере Радона отвечает однозначно определенное -кольцо так называемых -измеримых подмножеств рассматриваемого компактного хаусдорфова пространства Всякому множеству сопоставляется тогда неотрицательное число называемое мерой множества А. Так как значение для любой непрерывной функции может быть вычислено с помощью процесса интегрирования по указанной функции множества, то в дальнейшем число будет записываться большей частью в виде
0.12.5. Каждая положительная мера Радона порождает на полускалярное произведение
с соответствующей преднормой
Пополнение факторпространства по линейному подпространству нормированного как описано в 0.11.1, дает гильбертово пространство элементы которого можно интерпретировать как классы вычетов некоторых вещественных или комплексных функций при этом две функции принадлежат одному и тому же классу тогда и только тогда, когда они отличаются друг от друга лишь на множестве
0.12.6. Функцию на И определенную условиями для всех для всех называют характеристической функцией множества Классы вычетов так называемых -ступенчатых функций