Глава 2. АБСОЛЮТНО СУММИРУЮЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Непрерывное линейное отображение нормированного пространства в нормированное пространство мы называем абсолютно суммирующим, если оно переводит каждое суммируемое семейство из в абсолютно суммируемое семейство Такие отображения впервые рассматривались Пелчинским [2] и Пичем [4]. Но в сильно завуалированном виде они встречаются еще у Гротендика [3, гл. I, стр. 155] под наименованием "отображений, полуинтегральных справа".

Мы показываем, что совокупность всех абсолютно суммирующих отображений является линейным пространством, которое можно разумным образом наделить нормой. Центральным пунктом этой главы является теорема Пича 2.3.3 (см. Пич [4]), дающая характеризацию абсолютно суммирующих отображений, из которой следуют далеко идущие выводы. В качестве простейшего нетривиального примера абсолютно суммирующего отображения приводится каноническое отображение пространства в 1% (Пелчинский, Шленк [1] и Пич [4]).

Особенно замечателен тот неявно установленный еще Гротендиком [5], [6] факт, что абсолютно суммирующие отображения гильбертовых пространств совпадают с отображениями Гильберта — Шмидта, т. е. отображениями, представимыми бесконечной матрицей в которой

(теорема 2.5.5).

2.1. Абсолютно суммирующие отображения локально выпуклых пространств

2.1.1. Непрерывное линейное отображение локально выпуклого пространства в локально выпуклое пространство называется абсолютно суммирующим, если оно переводит все суммируемые семейства из в абсолютно суммируемые семейства

2.1.2. Теорема. Каково бы ни было множество индексов для каждого абсолютно суммирующего отображения формула

определяет линейное отображение пространства переводящее все ограниченные множества из в ограниченные множества в

Доказательство. Пусть ограниченное множество из Допустим, что имеется окрестность нуля для которой

Тогда существуют семейства и множества такие, что

В силу ограниченности множества В для каждой линейной формы существует положительное число такое, что

так что и

Следовательно, семейство со счетным множеством индексов

слабо суммируемо. Поскольку можно взаимно однозначно отобразить на семейства со всевозможными суммируемые в силу 1.3.5, переводятся отображением в абсолютно суммируемые семейства. Таким образом,

Но тогда в силу леммы 1.1.6

что невозможно.

Полученное противоречие показывает, что для каждой окрестности нуля существует положительное число такое, что

Но это означает, что ограниченное множество в

Так как, в частности, каждое слабо суммируемое семейство образует одноэлементное ограниченное множество в то семейства для всех абсолютно суммируемы.

2.1.3. Теорему 2.1.2 уточняет следующая

Теорема. Если абсолютно суммирующее отображение метрического локально выпуклого пространства в произвольное локально выпуклое пространство то формула

определяет непрерывное линейное отображение пространства

Доказательство. Какова бы ни была окрестность нуля множество

замкнуто, абсолютно выпукло и поглощает в силу предыдущей теоремы все ограниченные множества в Поскольку как метрическое локально выпуклое пространство, квазибочечно, должно быть тогда окрестностью нуля в . А это и означает непрерывность отображения

Комура показал, что теорема 2.1.3 становится неверной, если предположить, что дуальнометрическое локально выпуклое пространство.