1.2. Слабо суммируемые семейства в локально выпуклых пространствах

1.2.1. Под семейством в локально выпуклом пространстве мы понимаем множество элементов однозначно отнесенных элементам некоторого множества индексов Такое семейство называется слабо суммируемым, если

для каждой непрерывной линейной формы

1.2.2. Из этого определения непосредственно следует, что совокупность всех слабо суммируемых семейств из образует линейное пространство относительно операций

1.2.3. Каково бы ни было семейство множество

слабо ограниченно в поскольку

для всякой непрерывной линейной формы Согласно теореме Макки 0.6.3, отсюда следует, что А должно быть ограниченным множеством в Поэтому для каждой окрестности нуля существует положительное число такое, что

Выбрав, в частности, для каждой непрерывной линейной формы числа так, чтобы получим, что

Поэтому

Легко убедиться в том, что где пробегает образуют систему преднорм на определяемая ею локально выпуклая топология в будет называться -топологией.

Ясно, что для задания -топологии нужны не обязательно все преднормы Вполне достаточно, чтобы пробегало произвольную фундаментальную систему окрестностей нуля из

1.2.4. Предложение. Если полно, то и полно.

Доказательство. Пусть произвольная система Коши в Тогда для каждого индекса есть система Коши в так что существует элемент такой, что

Покажем, что система Коши сходится в -топологии к семейству образованному этими элементами. Действительно, для каждой окрестности нуля существует индекс такой, что

В силу (1) получаем из (2) в пределе

Поэтому для каждого имеем

Поскольку каждая непрерывная линейная форма содержится в для надлежащей окрестности нуля заключаем, что семейство принадлежит Но тогда из (3) непосредственно следует, что

Тем самым полнота пространства доказана.