1.2.2. Из этого определения непосредственно следует, что совокупность
всех слабо суммируемых семейств
из
образует линейное пространство относительно операций
1.2.3. Каково бы ни было семейство
множество
слабо ограниченно в
поскольку
для всякой непрерывной линейной формы
Согласно теореме Макки 0.6.3, отсюда следует, что А должно быть ограниченным множеством в
Поэтому для каждой окрестности нуля
существует положительное число
такое, что
Выбрав, в частности, для каждой непрерывной линейной формы
числа
так, чтобы
получим, что
Поэтому
Легко убедиться в том, что
где
пробегает
образуют систему преднорм на
определяемая ею локально выпуклая топология в
будет называться
-топологией.
Ясно, что для задания
-топологии нужны не обязательно все преднормы
Вполне достаточно, чтобы
пробегало произвольную фундаментальную систему окрестностей нуля из