норма порождает в топологию, для которой множества где и
образуют фундаментальную систему окрестностей нуля. Полученное так локально выпуклое пространство называется нормированным или нормируемым, его замкнутым единичным шаром. Полное нормированное пространство называют банаховым пространством.
Сильное сопряженное к нормированному пространству есть банахово пространство с нормой
и замкнутым единичным шаром откуда
0.8.2. На вопрос, при каких условиях топология локально выпуклого пространства может быть задана нормой, дает ответ
Теорема Колмогорова. Локально выпуклое пространство нормируемо тогда и только тогда, когда в нем имеется ограниченная окрестность нуля.
0.8.3. Существенным дополнением к приведенному критерию нормируемости является следующее
Предложение. Локально выпуклое пространство конечномерно тогда и только тогда, когда в нем имеется предкомпактная окрестность нуля.