0.8. Банаховы пространства

0.8.1. Преднорму на вещественном или комплексном линейном пространстве обладающую тем свойством, что для всех называют нормой. Каждая

норма порождает в топологию, для которой множества где и

образуют фундаментальную систему окрестностей нуля. Полученное так локально выпуклое пространство называется нормированным или нормируемым, его замкнутым единичным шаром. Полное нормированное пространство называют банаховым пространством.

Сильное сопряженное к нормированному пространству есть банахово пространство с нормой

и замкнутым единичным шаром откуда

0.8.2. На вопрос, при каких условиях топология локально выпуклого пространства может быть задана нормой, дает ответ

Теорема Колмогорова. Локально выпуклое пространство нормируемо тогда и только тогда, когда в нем имеется ограниченная окрестность нуля.

0.8.3. Существенным дополнением к приведенному критерию нормируемости является следующее

Предложение. Локально выпуклое пространство конечномерно тогда и только тогда, когда в нем имеется предкомпактная окрестность нуля.