Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава 5. СВОЙСТВА ПЕРМАНЕНТНОСТИ ЯДЕРНОСТИИмеется много возможностей образовывать из некоторого множества локально выпуклых пространств новые локально выпуклые пространства. В этой главе мы покажем, что при этом ядерность исходных пространств большей частью наследуется вновь полученными пространствами. Будут рассмотрены следующие случаи: образование подпространств и факторпространств, произведений и сумм, локально выпуклых ядер и оболочек, пополнений и ограниченных пополнений, локально выпуклых тензорных произведений и пространств непрерывных линейных отображений. Почти все результаты этой главы впервые были получены Гротендиком [3]. 5.1. Подпространства и факторпространства5.1.1. Предложение. Каждое подпространство Доказательство. Отметим прежде всего, что множества
следует, что нормированное пространство ческое отображение 5.1.2. Предложение. Каждое подпространство Доказательство. Отметим прежде всего, что множества
следует, что нормированное пространство 5.1.3. Предложение. Факторпространство Доказательство. Каждая линейная форма а
линейную форму а на
где
следует, что нормированное пространство 5.1.4. Проблема. Верно ли, что факторпространство Замечание. Ответ на этот вопрос во всяком случае положителен, когда каждое ограниченное подмножество факторпространства Лемма. Если
образуют фундаментальную систему ограниченных подмножеств факторпространства Доказательство. Так как множества
где
для каждой вполне суммируемой последовательности
Положим теперь
а при
Тогда
В самом деле, если число
а это возможно лишь когда Для каждого числа
Следовательно,
Таким образом, последовательность содержащее
5.1.5. Из 5.1.1 непосредственно следует Предложение. Каждое замкнутое подпространство 5.1.6. Поскольку всякое факторпространство Предложение. Факторпространство Замечание. Полнота пространства 5.1.7. Как можно показать, многие Предложение. Каждое замкнутое подпространство Доказательство. Справедливость утверждения вытекает из того, что
Из рефлексивности пространства
и потому совпадает с топологией, индуцируемой из 5.1.8. Существуют примеры Предложение. Факторпространство Доказательство. Справедливость утверждения следует из того, что
Из рефлексивности пространства
тогда как преднормы
как известно, задают в
Но из неравенства
справедливого для всех
и потому
Для доказательства обратного неравенства рассмотрим класс вычетов
и потому для каждого положительного числа
тем самым представимый в виде
Тогда
откуда следует, что
В силу произвольной малости
5.1.9. Предыдущими предложениями установлена фундаментальная Теорема двойственности. Для каждого ядерного
|
1 |
Оглавление
|