Глава 5. СВОЙСТВА ПЕРМАНЕНТНОСТИ ЯДЕРНОСТИ

Имеется много возможностей образовывать из некоторого множества локально выпуклых пространств новые локально выпуклые пространства. В этой главе мы покажем, что при этом ядерность исходных пространств большей частью наследуется вновь полученными пространствами. Будут рассмотрены следующие случаи: образование подпространств и факторпространств, произведений и сумм, локально выпуклых ядер и оболочек, пополнений и ограниченных пополнений, локально выпуклых тензорных произведений и пространств непрерывных линейных отображений. Почти все результаты этой главы впервые были получены Гротендиком [3].

5.1. Подпространства и факторпространства

5.1.1. Предложение. Каждое подпространство ядерного локально выпуклого пространства ядерно.

Доказательство. Отметим прежде всего, что множества где пробегает образуют фундаментальную систему окрестностей нуля в Кроме того, из справедливого для всех соотношения

следует, что нормированное пространство отождествимо с подпространством пространства образованным всеми классами вычетов отвечающими элементам Поскольку фундаментальная система окрестностей нуля обладает свойством Для каждого существует такое, что и каноническое отображение квазиядерно. Но тогда и

ческое отображение как сужение отображения на квазиядерно. Следовательно, фундаментальная система всех окрестностей нуля обладает свойством

5.1.2. Предложение. Каждое подпространство дуально-ядерного локально выпуклого пространства дуально-ядерно.

Доказательство. Отметим прежде всего, что множества где А пробегает образуют фундаментальную систему ограниченных множеств в Кроме того, из справедливого для всех соотношения

следует, что нормированное пространство отождествимо с подпространством пространства Поскольку фундаментальная система ограниченных множеств обладает свойством для каждого существует такое, что и каноническое отображение квчзиядерно. Но тогда и каноническое отображение как сужение отображения на квазиядерно. Следовательно, фундаментальная система всех ограниченных множеств обладает свойством

5.1.3. Предложение. Факторпространство ядерного локально выпуклого пространства по каждому замкнутому подпространству ядерно.

Доказательство. Каждая линейная форма а порождает по формуле

линейную форму а на Поскольку таким способом получаются все линейные формы а пространство сопряженное к отождествимо с подпространством пространства Напомним теперь, что множества

где пробегает образуют фундаментальную систему окрестностей нуля в Кроме того, при указанном отождествлении линейных пространств из соотношения

следует, что нормированное пространство будет совпадать с подпространством пространства Поскольку фундаментальная система окрестностей нуля обладает свойством для каждой окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что и каноническое отображение квазиядерно. Но тогда и каноническое отображение как сужение отображения на квазиядерно. Следовательно, фундаментальная система всех окрестностей нуля обладает свойством

5.1.4. Проблема. Верно ли, что факторпространство дуально-ядерного локально выпуклого пространства по замкнутому подпространству всегда дуально-ядерно?

Замечание. Ответ на этот вопрос во всяком случае положителен, когда каждое ограниченное подмножество факторпространства есть образ некоторого ограниченного подмножества пространства относительно канонического отображения на Это условие выполняется, в частности, для всех дуально-ядерных -пространств.

Лемма. Если замкнутое подпространство дуально-ядерного -пространства Е, то множества

образуют фундаментальную систему ограниченных подмножеств факторпространства

Доказательство. Так как в силу 4.3.3 и 5.1.3 ядерно, то, как следует из теоремы 9.5.2,

множества

где пробегает все вполне суммируемые последовательности, образуют фундаментальную систему ограниченных множеств в Выберем в убывающую счетную фундаментальную систему окрестностей нуля Тогда множества

для каждой вполне суммируемой последовательности конечны, причем

Положим теперь

а при выберем элементы так, чтобы

Тогда

В самом деле, если число не принадлежит ни одному то

а это возможно лишь когда

Для каждого числа имеем либо и тогда либо существует натуральное число такое, что и потому

Следовательно,

Таким образом, последовательность стремится к нулю, так что существует множество

содержащее для всех Тем самым наше утверждение доказано, поскольку тогда

5.1.5. Из 5.1.1 непосредственно следует

Предложение. Каждое замкнутое подпространство ядерного -пространства есть ядерное -пространство.

5.1.6. Поскольку всякое факторпространство -пространства по замкнутому подпространству есть снова -пространство, из 5.1.3 вытекает

Предложение. Факторпространство ядерного -пространства по каждому замкнутому подпространству есть ядерное -пространство.

Замечание. Полнота пространства следует также из вытекающего из леммы 5.1.4 факта, что каждая последовательность Коши содержится в (компактном) образе некоторого компактного множества В из

5.1.7. Как можно показать, многие -пространства обладают замкнутыми подпространствами, уже не являющимися -пространствами. Однако для ядерных пространств верно

Предложение. Каждое замкнутое подпространство ядерного -пространства есть ядерное -пространство.

Доказательство. Справедливость утверждения вытекает из того, что отождествимо с сильным сопряженным к ядерному -пространству Для этого отнесем каждому элементу линейную форму на определенную формулой

Из рефлексивности пространства следует, что так действительно получатся все непрерывные линейные формы на Наконец, из леммы 5.1.4 вытекает, что сильная топология в определяется преднормами

и потому совпадает с топологией, индуцируемой из

5.1.8. Существуют примеры -пространств, обладающих неполными факторпространствами. Однако для ядерных -пространств верно

Предложение. Факторпространство ядерного -пространства по каждому замкнутому подпространству есть ядерное -пpoстранство.

Доказательство. Справедливость утверждения следует из того, что отождествимо с сильным сопряженным к ядерному -пространству Для этого отнесем каждому классу вычетов линейную форму на определенную формулой

Из рефлексивности пространства и теоремы Хана — Банаха следует, что так действительно получатся все непрерывные линейные формы на Так как множества образуют фундаментальную систему ограниченных множеств в то сильная топология в определяется преднормами

тогда как преднормы

как известно, задают в топологию факторпространства. Поэтому для доказательства совпадения этих топологий достаточно доказать, что

Но из неравенства

справедливого для всех следует, что

и потому

Для доказательства обратного неравенства рассмотрим класс вычетов для которого Тогда

и потому для каждого положительного числа существует элемент

тем самым представимый в виде

Тогда

откуда следует, что

В силу произвольной малости заключаем, что влечет и потому

5.1.9. Предыдущими предложениями установлена фундаментальная

Теорема двойственности. Для каждого ядерного или -пространства соотнесение устанавливает взаимно однозначное соответствие между замкнутыми подпространствами пространств При этом можно сделать следующие отождествления: