8.2. Отображения типа lp

8.2.1, Пусть произвольные нормированные пространства, произвольное положительное число. Мы будем обозначать через совокупность всех отображений для которых

и будем называть всякое отображение отображением типа

8.2.2. Предложение. есть линейное пространство.

Доказательство. Пусть Так как Для любых двух чисел выполняется неравенство

то, применяя предложение 1 из 8.1.2, получаем

Следовательно, и есть отображение типа Кроме того, так как для любого числа к

то вместе с также принадлежит

8.2.3. Для каждого положим теперь

Вещественная функция на обладает следующими свойствами:

Утверждения очевидны, так что в доказательстве нуждается только Для этого запишем полученную в 8.2.2 оценку в форме

Тогда

и в качестве можно взять число

Основываясь на указанных свойствах, мы будем называть квазинормой. Она определяет в метрическую

топологию, в которой множества

со всевозможными образуют фундаментальную систему окрестностей отображения

8.2.4. Лемма. Если система Коши в и существует отображение такое, что для всех и

Доказательство. Так как для всех то есть также система Коши в поскольку для всех она сходится Так как в силу предложения 2 из 8.1.2

то

Но для каждого наперед заданного положительного числа 6 существует такое, что

Значит, в пределе

Тем самым отображение а с ним и принадлежит и система Коши сходится к в

Простым следствием только что доказанной леммы является

Предложение. Если нормированное, банахово пространства, то полно.

8.2.5. Предложение. Линейное пространство плотно в

Доказательство. Очевидно, каждое конечномерное отображение принадлежит

поскольку последовательность содержит лишь конечное число членов, отличных от нуля. Обратно, пусть Тогда для каждого положительного числа 6 существует натуральное число такое, что

Поскольку последовательность аппроксимативных чисел монотонно убывает, тогда и

Поэтому существует отображение для которого

Так как

то тогда

Тем самым наше утверждение доказано, поскольку мы для любого положительного числа нашли отображение такое, что

8.2.6. Предложение. Каждое отображение предкомпактно.

Доказательство. В силу 8.2.5 для каждого отображения существует последовательность отображений такая, что

Но так как для всех выполняется неравенство то также

Следовательно, в силу 0.10.6 предкомпактно.

8.2.7. Пусть нормированные пространства. Справедлива следующая важная

Теорема. Если и где

Доказательство. Применяя обобщенное неравенство Гёльдера

и предложение 5 из 8.1.2, получаем

и тем самым

8.2.8. Кроме того, получаем еще

Предложение. Если причем

(2) Если причем

Доказательство. В силу предложения 5 из соответственно

Следовательно,

и наши утверждения доказаны.

8.2.9. В заключение укажем один простой класс отображений типа

Предложение. Отображение вида

есть отображение типа тогда а только тогда, когда

Доказательство. Предположим сначала, что отображение типа Тогда, в частности,

Поэтому множества

для всех конечны, ибо в противном случае из 8.1.5 следовало бы, что

Поэтому

есть множество вида

причем можно еще добиться, чтобы влекло Тем самым в силу имеем

так что

Обратно, если отображение, для которого

то множества

для всех конечны, и совершенно так же, как в первой части доказательства, получаем

Следовательно, отображение типа