9.6. e-емкость ограниченных множеств в нормированных пространствах

9.6.1. Пусть В — произвольное ограниченное подмножество нормированного пространства с замкнутым единичным шаром произвольное положительное число. Верхняя грань множества всех натуральных чисел для которых существуют элементы такие, что

называется -емкостью множества В. Таким образом, есть либо натуральное число, либо и

9.6.2. Следующее предложение показывает, что рассматривать -емкости действительно имеет смысл лишь для предкомпактных множеств.

Предложение. Ограниченное подмножество В нормированного пространства предкомпактно тогда и только тогда, когда

Доказательство. Если В предкомпактно, то для каждого положительного числа существует конечное число элементов таких, что

А тогда В самом деле, если бы В содержало элементов таких, что при то по крайней мере два различных элемента принадлежали бы одному и тому же множеству

Но отсюда следовало бы, что, в противоречие с предположением,

Пусть теперь В — ограниченное множество такое, что

Для натурального числа существуют элементы такие, что при При этом для любого должно существовать хотя бы одно такое, что ибо в противном случае систему можно было бы расширить присоединением элемента х, откуда следовало бы, что Следовательно,

9.6.3. Следующие две леммы устанавливают связи между определенными в 9.1.1 -поперечниками и в 9.6.1 -емкостями ограниченного подмножества В вещественного нормированного пространства

Лемма 1. Пусть В — ограниченное подмножество вещественного нормированного пространства Если

то

Доказательство. В силу предположения, в существует подпространство такое, что

Пусть теперь элементы таковы, что при Представим их в виде

Так как тогда

то содержатся все в множестве

Поскольку допущение, что для какой-то пары различных индексов влекло бы

заключаем, что

Следовательно, замкнутые множества

попарно не пересекаются. Так как, кроме того, то получаем, что

Пусть теперь мера на -мерном вещественном линейном пространстве получающаяся путем перенесения меры Лебега, определенной на -мерном евклидовом пространстве, посредством какого-либо взаимно однозначного и линейного отображения его на Тогда

и так как

Поскольку неравенство

тем самым доказано.

Лемма 2. Для каждого абсолютно выпуклого ограниченного подмножества В вещественного нормированного пространства выполняются неравенства

Доказательство. При утверждение тривиально, так что в дальнейшем будет предполагаться, что Рассмотрим произвольные числа удовлетворяющие условиям и определим последовательно элементы так, чтобы

где означает -мерное подпространство пространства порожденное элементами с индексами Пусть произвольное положительное число. Рассмотрим всевозможные элементы

с целочисленными коэффициентами Покажем, что В самом деле, положив

и допустив, что наше утверждение неверно, мы в силу соотношения

имели бы

откуда следовало бы, что

в противоречие с выбором элемента Оценим теперь снизу число тех элементов которые содержатся в множестве

Для этого заметим, что соответствующие этим элементам «кирпичи»

образуют покрытие множества Приняв элементы за единичные векторы, можно отождествить -мерным евклидовым пространством. Тогда для лебеговой меры перенесенной так на будем иметь

Поскольку

где суммирование производится по всем системам для которых получаем

Так как В по предположению абсолютно выпукло, то . Следовательно, В содержит по меньшей мере различных элементов так что Поэтому

откуда в пределе при и получается неравенство леммы.

9.6.4. Из неравенств, доказанных в 9.6.3, в качестве первого следствия вытекает

Лемма. Для абсолютно выпуклого ограниченного подмножества В вещественного нормированного пространства утверждения

равносильны.

Доказательство. Если то в силу леммы 1 для всех положительных чисел выполняется

неравенство

откуда следует, что

Обратно, если это предельное соотношение выполнено, то, устремив к нулю в оценке

установленной в лемме 2, получим в пределе

и, следовательно,