Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
9.6. e-емкость ограниченных множеств в нормированных пространствах9.6.1. Пусть В — произвольное ограниченное подмножество нормированного пространства
называется
9.6.2. Следующее предложение показывает, что рассматривать Предложение. Ограниченное подмножество В нормированного пространства
Доказательство. Если В предкомпактно, то для каждого положительного числа
А тогда
Пусть теперь В — ограниченное множество такое, что
Для натурального числа
9.6.3. Следующие две леммы устанавливают связи между определенными в 9.1.1 Лемма 1. Пусть В — ограниченное подмножество вещественного нормированного пространства
то
Доказательство. В силу предположения, в
Пусть теперь элементы
Так как тогда
то
Поскольку допущение, что
заключаем, что
Следовательно, замкнутые множества
попарно не пересекаются. Так как, кроме того,
Пусть теперь
и так как
Поскольку
тем самым доказано. Лемма 2. Для каждого абсолютно выпуклого ограниченного подмножества В вещественного нормированного пространства
Доказательство. При
где
с целочисленными коэффициентами
и допустив, что наше утверждение неверно, мы в силу соотношения
имели бы
откуда следовало бы, что
в противоречие с выбором элемента
Для этого заметим, что соответствующие этим элементам «кирпичи»
образуют покрытие множества
Поскольку
где суммирование производится по всем системам
Так как В по предположению абсолютно выпукло, то
откуда в пределе при 9.6.4. Из неравенств, доказанных в 9.6.3, в качестве первого следствия вытекает Лемма. Для абсолютно выпуклого ограниченного подмножества В вещественного нормированного пространства
равносильны. Доказательство. Если неравенство
откуда следует, что
Обратно, если это предельное соотношение выполнено, то, устремив
установленной в лемме 2, получим в пределе
и, следовательно,
|
1 |
Оглавление
|