0.4. Преднормы

0.4.1. Преднорма на линейном пространстве есть вещественная функция обладающая следующими свойствами:

0.4.2. Подмножество А линейного пространства называется абсолютно выпуклым, если каковы бы ни были Если, кроме того, для каждого элемента существует положительное число такое, что то А называется поглощающим. Наконец, центральным множеством в будет называться всякое поглощающее абсолютно выпуклое множество А, обладающее тем свойством, что если Для всех то и

0.4.3. Во всяком линейном пространстве имеется взаимно однозначное соответствие между преднормами и

центральными множествами. А именно, каждому центральному множеству А формула

относит преднорму для которой

и обратно, каждая преднорма может быть получена таким способом из центрального множества

0.4.4. Одной из фундаментальных теорем теории локально выпуклых пространств является

Теорема Хана — Банаха. Если преднорма на линейном пространстве то каждая линейная форма на его линейном подпространстве удовлетворяющая условию

допускает продолжение до линейной формы а, определенной на всем и такой, что