Глава 10. ЯДЕРНЫЕ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА С БАЗИСОМ

Последовательность элементов локально выпуклого пространства называют базисом этого пространства, если для каждого элемента существует однозначно определенная последовательность чисел такая, что

При этом порядок следования элементов вообще говоря, существен. В качестве примера приведем банахово пространство базис которого впервые построил Шаудер: можно показать, что у этого пространства вовсе нет базиса для которого бы все ряды безусловно сходились. Еще реже встречаются банаховы пространства, обладающие базисом для которого все ряды Даже абсолютно сходятся. И действительно, из доказательства теоремы 10.1.4 видно, что эти пространства изоморфны пространству последовательностей

Тем больше было удивление, когда Дынин и Митягин показали [1], что для каждого базиса ядерного -пространства все ряды абсолютно сходятся. Из этой фундаментальной теоремы о базисах, доказываемой ниже в весьма общей форме, в соединении с одним методом, предложенным Ролевичем [1], следует, что все ядерные полные локально выпуклые пространства с равностепенно непрерывным базисом изоморфны ядерным пространствам последовательностей (теорема 10.2.2). Поэтому важнейшее значение для классификации ядерных локально

выпуклых пространств приобретает вопрос об общих критериях изоморфности ядерных пространств последовательностей (10.2.3).

В § 10.3 указываются базисы некоторых конкрегных ядерных локально выпуклых пространств. Однако совершенно так же, как и для сепарабельных банаховых пространств, до сих пор еще не удалось доказать, что каждое ядерное -пространство обладает базисом.

Как известно, каждое сепарабельное нормированное пространство изоморфно вкладывается в банахово пространство Еще Гротендик высказал предположение, что в теории ядерных локально выпуклых пространств такую же роль играет -пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на прямой. И действительно, после того, как Бессага и Пелчипский [1] показали, что каждое ядерное -пространство, обладающее базисом, отождествимо с некоторым подпространством пространства (теорема 10.4.4), и Комура удалось доказать, что и все вообще метрические ядерные пространства вложимы в универсальное пространство

10.1. Локально выпуклые пространства с базисом

10.1.1, Последовательность элементов локально выпуклого пространства называют его базисом, если для каждого элемента существует однозначно определенная числовая последовательность такая, что

Для каждого базиса соответствия порождают на линейные формы определяемые формулами При этом

10.1.2. Мы называем базис равностепенно непрерывным, если для каждой окрестности нуля существует окрестность пуля такая, что

В частности, тогда все линейные формы непрерывны.

Отметим без доказательства, что справедлива

Теорема. Каждый базис -пространства равностепенно непрерывен.

10.1.3. Мы называем равностепенно непрерывный базис абсолютным, если для каждой окрестности нуля существует даже такая окрестность нуля что

Тогда в равенстве

выполняющемся для всех ряд в правой части абсолютно суммируем.

10.1.4. Полные локально выпуклые пространства, обладающие абсолютным равностепенно непрерывным

базисом, допускают весьма простое представление. А именно, справедлива

Теорема. Каждое полное локально выпуклое пространство с абсолютным равностепенно непрерывным базисом отождествимо с некоторым пространством последовательностей

Доказательство. Положим

и рассмотрим порождаемое этой системой пространство последовательностей наделенное локально выпуклой топологией, определяемой преднормами

Так как по предположению для каждой окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что

то взаимно однозначное линейное отображение К пространства определяемое формулой

непрерывно. Поскольку всякое семейство где абсолютно суммируемо, существует элемент

Но тогда и таким образом К есть даже отображение на Наконец, так как

то и обратное отображение К непрерывно.

10.1.5. Так как единичные последовательности образуют абсолютный равностепенно непрерывный базис в каждом пространстве последовательностей то из 10.1.4 вытекает

Теорема. Совокупность всех полных локально выпуклых пространств, обладающих абсолютным равностепенно непрерывным базисом, совпадает с совокупностыо всех пространств последовательностей.