9.7. Аппроксимативная размерность локально выпуклых пространств

9.7.1. Пусть произвольное локально выпуклое пространство и произвольное положительное число. Пусть окрестности нуля из такие, что Верхнюю грань множества всех натуральных чисел для которых существуют элементы такие, что при назовем -емкостью V относительно Нетрудно видеть, что совпадает с -емкостью ограниченного множества

в нормированном пространстве

9.7.2. Аппроксимативной размерностью локально выпуклого пространства будет называться совокупность всех положительных функций на интервале ( обладающих тем свойством, что для каждой окрестности нуля существует окрестность, нуля такая, что и

Легко видеть, что в этом определении можно заменить любой фундаментальной системой окрестностей нуля.

9.7.3. На основании замечания, аналогичного сделанному в 9.2.3, справедлива следующая

Теорема. Если изоморфные локально выпуклые пространства, то

9.7.4. Что аппроксимативную размерность локально выпуклого пространства действительно можно считать обобщением обычной размерности, показывает следующая

Теорема. Вещественное локально выпуклое пространство обладает размерностью, не превышающей тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие:

Функция принадлежит для всех

Доказательство. Если причем , то

есть ограниченное подмножество нормированного пространства причем

Поэтому утверждения

в силу леммы 9.6.4 равносильны, и сформулированное в теореме условие вытекает из теоремы 9.2.4.

Замечание. В случае комплексного локально выпуклого пространства следует заменить на

9.7.5. Что аппроксимативная размерность действительно служит мерой величины локально выпуклого пространства показывают следующие два предложения.

Предложение 1. Если подпространство локально выпуклого пространства то

Доказательство. Пусть произвольная функция из Тогда для каждой окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что и

Но так как для любых элементов таких, что при также при то

и, значит,

Принимая во внимание, что множества где образуют фундаментальную систему окрестностей нуля в заключаем, что чем наше утверждение и доказано.

Предложение 2. Если замкнутое подпространство локально выпуклого пространства то

Доказательство. Так как множества

образуют фундаментальную систему окрестностей нуля в факторпространстве то справедливость нашего утверждения будет следовать из того, что

для любых окрестностей пуля таких, что Для доказательства этого неравенства рассмотрим классов вычетов из таких, что при . В силу определения

множества существуют числа для которых

Тогда для максимума этих чисел тем более

С другой стороны,

и потому элементы представимы в виде

При этом при ибо иначе мы имели бы

Таким образом, найдены элементов таких, что при следовательно, не может быть меньше чем .

9.7.6. Проблема. При каких предположениях относительно локально выпуклого пространства справедливо равенство

9.7.7. Дуальной аппроксимативной размерностью локально выпуклого пространства будем называть совокупность положительных функций на Интервале ( обладающих тем свойством, что каждого множества существует множество такое, что и

где означает -емкость А относительно В, определяемую совершенно так же, как в

До сих пор неизвестно, всегда ли дуальная аппроксимативная размерность локально выпуклого пространства совпадает с аппроксимативной размерностью его сильного сопряженного.

Проблема. При каких предположениях относительно локально выпуклого пространства имеет место равенство