Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 8.3. Аппроксимативные числа компактных отображений гильбертовых пространств8.3.1. В настоящем параграфе Лемма. Для каждого компактного отображения
Доказательство. Так как
то существует такая последовательность элементов
Поскольку отображение
Так как правая часть равенства
стремится к нулю при
Из (1) и
и, значит,
Наконец, так как
то Теорема о спектральном разложении. Для каждого компактного отображения
Доказательство. Рассмотрим совокупность всех ортонормальных систем, образованных элементами для которых найдется число
Будучи упорядоченной по теоретико-множественному включению, она индуктивна !), так что в силу леммы Цорна существует максимальная ортонормальная система
с некоторыми положительными числами Формула
определяет тогда непрерывный проектор Положим
Так как
Поскольку тогда
то
а потому ортонормальную систему В силу (3) имеем теперь для
Положив
причем элементы
Покажем, наконец, что
Для любых двух различных индексов
Но так как 8.3.2. Рассмотрим теперь произвольное компактное линейное отображение
Поскольку
конечны и
Следовательно, множество индексов I не более чем счетно и можно считать, что оно имеет вид
причем можно еще добиться, чтобы
Тогда справедлива Теорема. Для каждого компактного отображения
Доказательство. Приведем отображение
и, зафиксировав число
Так как тогда
то получим, что
С другой стороны, пусть А—произвольное отображение из
где
нормированное так, чтобы
Положив
будем иметь тогда
Приняв еще во внимание, что
Так как
Сопоставляя (1) и (2), заключаем, что Наконец, если 8.3.3. Теорема. Если Доказательство. Возьмем произвольное ядерное отображение
В силу ядерности отображения такие, что
и
Так как тогда
то получаем, что
и, значит, в силу произвольной малости
С другой стороны, поскольку множество индексов
Следовательно,
А так как по теореме 8.3.2
то получаем, что
Тем самым мы показали, что каждое ядерное отображение есть отображение типа Но и обратно, все отображения типа
где
8.3.4. Теорема. Если Доказательство. Рассмотрим произвольное компактное отображение
Продолжив ортонормальную систему
Следовательно, для компактного отображения
равносильны. Но тем самым наше утверждение доказано, поскольку как отображения Гильберта — Шмидта, так и отображения типа
|
1 |
Оглавление
|