8.3. Аппроксимативные числа компактных отображений гильбертовых пространств

8.3.1. В настоящем параграфе всюду предполагаются гильбертовыми пространствами с замкнутыми единичными шарами В этом случае компактные линейные отображения пространства допускают очень простое представление.

Лемма. Для каждого компактного отображения с нормой существует элемент такой, что

Доказательство. Так как

то существует такая последовательность элементов что

Поскольку отображение по предположению компактно, можно считать, что последовательность сходится в к некоторому элементу Полагая имеем тогда

Так как правая часть равенства

стремится к нулю при , то

Из (1) и следует, что

и, значит,

Наконец, так как

то

Теорема о спектральном разложении. Для каждого компактного отображения существую ортонормальные системы и числовое семейство где все такие, что

Доказательство. Рассмотрим совокупность всех ортонормальных систем, образованных элементами

для которых найдется число такое, что

Будучи упорядоченной по теоретико-множественному включению, она индуктивна !), так что в силу леммы Цорна существует максимальная ортонормальная система для элементов которой имеют место равенства

с некоторыми положительными числами Формула

определяет тогда непрерывный проектор образ которого состоит из всех элементов таких, что при всех

Положим и допустим, что В силу предыдущей леммы существует элемент такой, что

Так как то

Поскольку тогда

то . Но в таком случае

а потому ортонормальную систему можно еще расширить присоединением элемента Так как это противоречит ее максимальности, то заключаем, что т. е.

В силу (3) имеем теперь для представление

Положив получаем

причем элементы образуют в ортонормальную систему, поскольку

Покажем, наконец, что Для этого, взяв произвольное положительное число 6, рассмотрим множество

Для любых двух различных индексов имеем

Но так как то множество всех элементов предкомпактно. Следовательно, должно быть конечно.

8.3.2. Рассмотрим теперь произвольное компактное линейное отображение пространства представив его в виде

Поскольку множества

конечны и

Следовательно, множество индексов I не более чем счетно и можно считать, что оно имеет вид

причем можно еще добиться, чтобы влекло Положим теперь

Тогда справедлива

Теорема. Для каждого компактного отображения имеют место равенства

Доказательство. Приведем отображение к виду

и, зафиксировав число определим отображение формулой

Так как тогда

то получим, что

С другой стороны, пусть А—произвольное отображение из Его можно представить в виде

где Возьмем теперь нетривиальное решение системы однородных линейных Уравнений

нормированное так, чтобы

Положив

будем иметь тогда

Приняв еще во внимание, что получим оценку

Так как произвольное отображение из то отсюда следует, что

Сопоставляя (1) и (2), заключаем, что для всех

Наконец, если то по определению Но так как тогда размерность образа отображения не превышает то значит,

8.3.3. Теорема. Если гильбертовы пространства, то ядерные отображения пространства совпадают с отображениями типа причем для всех имеет место равенство

Доказательство. Возьмем произвольное ядерное отображение представив его по в виде

В силу ядерности отображения для каждого положительного числа 6 существуют элементы

такие, что

и

Так как тогда

то получаем, что

и, значит, в силу произвольной малости

С другой стороны, поскольку множество индексов конечно или счетно, имеем в силу 3.1.1

Следовательно,

А так как по теореме 8.3.2

то получаем, что

Тем самым мы показали, что каждое ядерное отображение есть отображение типа

Но и обратно, все отображения типа должны быть ядерными, поскольку в силу теоремы 8.3.2 они представимы в виде

где

8.3.4. Теорема. Если гильбертовы пространства, то отображения Гильберта — Шмидта пространства совпадают с отображениями типа 12, причем для всех имеет место равенство

Доказательство. Рассмотрим произвольное компактное отображение представив его по 8.3.1 в виде

Продолжив ортонормальную систему до полной ортонормальной системы , будем иметь для всех значит, по теореме 8.3.2

Следовательно, для компактного отображения утверждения

равносильны. Но тем самым наше утверждение доказано, поскольку как отображения Гильберта — Шмидта, так и отображения типа компактны.