10.2. Представление ядерных локально выпуклых пространств с базисом

10.2.1. Большое значение в теории ядерных локально выпуклых пространств имеет

Теорема о базисах. Каждый равностепенно непрерывный базис ядерного локально выпуклого пространства абсолютен.

Доказательство. По предположению для каждой окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что

Поэтому для каждого формулой

определяется непрерывное линейное отображение пространства с нормой Повторим еще раз первый шаг и выберем для окрестности нуля окрестность нуля так, чтобы

Тогда, каковы бы ни были семейство с нормой и элемент формула

будет определять непрерывное линейное отображение пространства в . Так как при этом для каждого

семейства в котором

то Поскольку ядерно, можно по теореме 8.6.1 выбрать в частности так, чтобы каноническое отображение пространства на было отображением типа причем можно добиться, чтобы Положив тогд получим в силу предложения 8.2.8, что

Но так как действует по формуле

то, согласно предложению 8.2.9,

На основании леммы 1.1.7 отсюда вытекает, что

Так как х было произвольным множеством из то заключаем, что

откуда

и наше утверждение доказано.

10.2.2. Из теорем 10.1.5 и 10.2.1 вытекает

Теорема. Совокупность всех ядерных полных локально выпуклых пространств, обладающих равностепенно непрерывным базисом, совпадает с совокупностью всех ядерных пространств последовательностей.

10.2.3. Последняя теорема позволяет сводить все рассмотрения, относящиеся к ядерным полным локально выпуклым пространствам с равностепенно непрерывным базисом, к исследованию ядерных пространств последовательностей. Это верно, в частности, и для вопроса об изоморфизме двух таких пространств.

Ясно, что два пространства последовательностей, переводимые друг в друга перестановкой множества и диагональным преобразованием вида

изоморфны. Хотя до сих пор еще не выяснено, можно ли таким способом из любого ядерного пространства последовательностей получить все изоморфные ему пространства последовательностей, все же удалось доказать, что для пространств степенных рядов это верно (Митягин [4]).

10.2.4. В заключение сформулируем еще классическую проблему:

Проблема. Каждое ли ядерное -пространство обладает базисом?