6.2. Пространства бесконечно дифференцируемых функций

6.2.1. В дальнейшем будет означать совокупность всех бесконечно дифференцируемых вещественных или комплексных функций на замкнутом интервале Она образует относительно операций

линейное пространство и, как легко убедиться, становится -пространством при наделении локально выпуклой топологией, определяемой нормами

Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно.

Доказательство. Для каждой функции в силу тождества

имеем

Но поскольку правая часть последнего неравенства не зависит от то, суммируя по и беря затем верхнюю грань, приходим к неравенству

Так как непрерывные линейные формы определяемые для всех формулами

содержатся в поляре окрестности нуля

и являются непрерывными функциями от то формулой

определяется положительная мера Радона на такая, что

Следовательно, в силу 4.1.5 ядерно.

6.2.2. Линейное пространство всех бесконечно дифференцируемых вещественных или комплексных функций на прямой становится

-пространством при наделении локально выпуклой топологией, определяемой преднормами

Обозначим сужение функции на интервал через Тогда есть локально выпуклое ядро ядерных -пространств относительно отображений Поэтому в силу 5.2.3 справедлива

Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно.

6.2.3. Обозначим через где подпространство пространства образованное всеми функциями у которых для В силу 6.2.1 и 5.1.1 справедлива

Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно.

6.2.4. Рассмотрим теперь основное в теории распределений линейное пространство 3 всех бесконечно дифференцируемых вещественных или комплексных функций на прямой тождественно равных нулю вне некоторого интервала (зависящего от

Если каждой функции отнести функцию равную на и вне то будет объединением образов отображений и в нем можно будет ввести локально выпуклую топологию по способу, описанному в 5.2.4. Получающееся так локально выпуклое пространство полно, но не является метрическим или дуально-метрическим. При этом в силу предложения 5.2.4 справедлива

Теорема. Локально выпуклое пространство 3 ядерно.

6.2.5. Линейное пространство всех бесконечно дифференцируемых вещественных или комплексных функций

становится -пространством при наделении локально выпуклой топологией, определяемой преднормами

Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно.

Доказательство. Для каждой функции в силу тождества

и неравенства имеем

Но так как правая часть этого неравенства не зависит от то, суммируя по и беря затем верхнюю грань, приходим к неравенству

Следовательно, тем более

Поскольку непрерывные линейные формы определяемые для всех формулами

содержатся в поляре окрестности нуля

то формулой

определяется положительная мера Радона на такая, что

Следовательно, в силу 4.1.5 ядерно.

6.2.6. Наконец, справедлива

Теорема. Сильное сопряженное к любому из локально выпуклых пространств и 3 ядерно.

Доказательство. Так как перечисленные пространства, за исключением , метрические, то наше утверждение следует в основном из теоремы 4.3.3. Но можно показать, что обладает свойством Поэтому ядерность пространства вытекает из теоремы 4.3.1. Впрочем, можно также убедиться в том, что есть локально выпуклое ядро ядерных -пространств относительно отображений и применить 5.2.3.