Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 6.2. Пространства бесконечно дифференцируемых функций6.2.1. В дальнейшем будет означать совокупность всех бесконечно дифференцируемых вещественных или комплексных функций на замкнутом интервале Она образует относительно операций
линейное пространство и, как легко убедиться, становится -пространством при наделении локально выпуклой топологией, определяемой нормами
Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно. Доказательство. Для каждой функции в силу тождества
имеем
Но поскольку правая часть последнего неравенства не зависит от то, суммируя по и беря затем верхнюю грань, приходим к неравенству
Так как непрерывные линейные формы определяемые для всех формулами
содержатся в поляре окрестности нуля
и являются непрерывными функциями от то формулой
определяется положительная мера Радона на такая, что
Следовательно, в силу 4.1.5 ядерно. 6.2.2. Линейное пространство всех бесконечно дифференцируемых вещественных или комплексных функций на прямой становится -пространством при наделении локально выпуклой топологией, определяемой преднормами
Обозначим сужение функции на интервал через Тогда есть локально выпуклое ядро ядерных -пространств относительно отображений Поэтому в силу 5.2.3 справедлива Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно. 6.2.3. Обозначим через где подпространство пространства образованное всеми функциями у которых для В силу 6.2.1 и 5.1.1 справедлива Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно. 6.2.4. Рассмотрим теперь основное в теории распределений линейное пространство 3 всех бесконечно дифференцируемых вещественных или комплексных функций на прямой тождественно равных нулю вне некоторого интервала (зависящего от Если каждой функции отнести функцию равную на и вне то будет объединением образов отображений и в нем можно будет ввести локально выпуклую топологию по способу, описанному в 5.2.4. Получающееся так локально выпуклое пространство полно, но не является метрическим или дуально-метрическим. При этом в силу предложения 5.2.4 справедлива Теорема. Локально выпуклое пространство 3 ядерно. 6.2.5. Линейное пространство всех бесконечно дифференцируемых вещественных или комплексных функций
становится -пространством при наделении локально выпуклой топологией, определяемой преднормами Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно. Доказательство. Для каждой функции в силу тождества
и неравенства имеем
Но так как правая часть этого неравенства не зависит от то, суммируя по и беря затем верхнюю грань, приходим к неравенству
Следовательно, тем более
Поскольку непрерывные линейные формы определяемые для всех формулами
содержатся в поляре окрестности нуля
то формулой
определяется положительная мера Радона на такая, что
Следовательно, в силу 4.1.5 ядерно. 6.2.6. Наконец, справедлива Теорема. Сильное сопряженное к любому из локально выпуклых пространств и 3 ядерно. Доказательство. Так как перечисленные пространства, за исключением , метрические, то наше утверждение следует в основном из теоремы 4.3.3. Но можно показать, что обладает свойством Поэтому ядерность пространства вытекает из теоремы 4.3.1. Впрочем, можно также убедиться в том, что есть локально выпуклое ядро ядерных -пространств относительно отображений и применить 5.2.3.
|
1 |
Оглавление
|