7.5. Полное тензорное «пи»-произведение нормированных пространств

7.5.1. Если - нормированные пространства с замкнутыми единичными шарами то локально выпуклая -топология в алгебраическом тензорном произведении определяется нормой Справедлива следующая

Теорема. Каково бы ни было положительное число каждый элемент полного тензорного произведения представим в виде

где

Доказательство. Поскольку принадлежит пополнению нормированного пространства существует последовательность элементов такая, что

Так как тогда

то элементы представимы в виде

где

Так как, кроме того,

то элемент представим в виде

где

Следовательно,

и наше утверждение полностью доказано, поскольку

7.5.2. Отнесение каждому элементу

конечномерного отображения

отождествляет алгебраическое тензорное произведение с линейным пространством Выбирая представление элемента при заданном положительном числе так, чтобы выполнялось неравенство

получаем оценку

откуда в силу произвольной малости 6 следует, что

Таким образом, каноническое отображение пространства непрерывно и потому может быть однозначно продолжено до непрерывного линейного отображения пространства . В силу теоремы образ этого отображения будет совпадать с совокупностью ядерных отображений пространства

Можно показать, что для широкого класса нормированных пространств определенное так каноническое отображение пространства на взаимно однозначно. Верно ли это для любых нормированных пространств — до сих пор неизвестно.