Теорема. Каково бы ни было положительное число
каждый элемент
полного тензорного произведения
представим в виде
где
Доказательство. Поскольку
принадлежит пополнению нормированного пространства
существует последовательность элементов
такая, что
Так как тогда
то элементы
представимы в виде
где
Так как, кроме того,
то элемент
представим в виде
где
Следовательно,
и наше утверждение полностью доказано, поскольку
7.5.2. Отнесение каждому элементу
конечномерного отображения
отождествляет алгебраическое тензорное произведение
с линейным пространством
Выбирая представление элемента
при заданном положительном числе
так, чтобы выполнялось неравенство
получаем оценку
откуда в силу произвольной малости 6 следует, что
Таким образом, каноническое отображение пространства
непрерывно и потому может быть однозначно продолжено до непрерывного линейного отображения пространства
. В силу теоремы
образ этого отображения будет совпадать с совокупностью
ядерных отображений пространства
Можно показать, что для широкого класса нормированных пространств определенное так каноническое отображение пространства
на
взаимно однозначно. Верно ли это для любых нормированных пространств — до сих пор неизвестно.