Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава 8. ОТОБРАЖЕНИЯ ТИПОВ lp И sДля каждого отображения Мы говорим, что
Эти отображения образуют линейное пространство. Произведения отображений заданных типов рассмотрены в 8.2.7. Основной из полученных в этой главе результатов состоит в том, что каждое отображение типа Особенно хорошо аппроксимируются отображения В последнем параграфе этой главы отображения типов Результаты главы принадлежат в основном Пичу [5]. 8.1. Аппроксимативные числа непрерывных линейных отображений нормированных пространств8.1.1. Пусть Для произвольного отображения
и будем называть
8.1.2. Установим некоторые элементарные свойства аппроксимативных чисел. Предложение 1. Для любых
Доказательство. Для произвольного положительного числа
Поскольку
откуда в силу произвольной малости Предложение 2. Для любых
Доказательство. В силу предложения 1 имеем
Поменяв здесь местами Сформулируем без доказательства Предложение 3. Для всех
Предложение 4. Доказательство. Допустим, что размерность образа отображения
Поскольку
Так как по предположению
то для положительного числа
найдется отображение
имеем тогда
Но так как образ отображения
Полученное противоречие показывает, что наше допущение было неверным и, значит, Предложение 5. Пусть
Доказательство. Для произвольного положительного числа 6 существуют отображения
Поскольку
откуда в силу произвольной малости 6 и следует утверждаемое неравенство. 8.1.3. Если
в случае Предложение. Если
Доказательство. Для произвольного положительного числа 6 существует отображение
Это отображение представимо в виде
с линейными формами
Положим
Тогда
Поэтому
откуда в силу произвольной малости
Но тем самым наше утверждение доказано, ибо, как уже было замечено, всегда
8.1.4. Приведем пример вычисления аппроксимативных чисел. Нам понадобится Лемма. Если
Доказательство. Допустим, что
Тогда существует отображение
Так как 8.1.5. В качестве применения предыдущей леммы вычислим аппроксимативные числа отображений одного простого класса. Обозначим через Предложение. Для каждого отображения
имеет место равенство
Доказательство. Обозначим выражение, стоящее в правой части утверждаемого равенства, через
содержит не более
принадлежит
Тем самым для случая
и рассмотрим отображение
Положим
то формула
определяет отображение
Следовательно, в силу леммы 8.1.4 и предложения 5 из 8.1.2
и так как
Тем самым равенство
|
1 |
Оглавление
|