Глава 8. ОТОБРАЖЕНИЯ ТИПОВ lp И s

Для каждого отображения где нормированные пространства, в 8.1.1 определяются "аппроксимативные числа” выражающие меру аппроксимируемости отображения конечномерными отображениями, размерность образа которых не превышает В случае гильбертовых пространств аппроксимативные числа вполне непрерывного отображения совпадают с собственными значениями отображения расположенными в порядке убывания (теорема 8.3.2).

Мы говорим, что есть отображение типа если

Эти отображения образуют линейное пространство. Произведения отображений заданных типов рассмотрены в 8.2.7.

Основной из полученных в этой главе результатов состоит в том, что каждое отображение типа ядерно (теорема 8.4.3). В случае гильбертовых пространств верна и обратная теорема. Для произвольных же банаховых пространств можно показать лишь, что произведение двух ядерных отображений есть отображение типа 12 (теорема 8.4.5).

Особенно хорошо аппроксимируются отображения (теорема 8.5.6), совпадающие с «фредгольмовскими отображениями нулевого порядка», введенными Гротендиком [3, гл. 11, стр. 6].

В последнем параграфе этой главы отображения типов используются для характеризации ядерных локально выпуклых пространств.

Результаты главы принадлежат в основном Пичу [5].

8.1. Аппроксимативные числа непрерывных линейных отображений нормированных пространств

8.1.1. Пусть нормированные пространства. Будем обозначать через где совокупность всех конечномерных отображений размерность образа которых не превышает

Для произвольного отображения положим

и будем называть аппроксимативным числом отображения Очевидно, всегда

8.1.2. Установим некоторые элементарные свойства аппроксимативных чисел.

Предложение 1. Для любых выполняется неравенство

Доказательство. Для произвольного положительного числа существуют отображения и такие, что

Поскольку имеем тогда

откуда в силу произвольной малости и следует утверждаемое неравенство.

Предложение 2. Для любых выполняется неравенство

Доказательство. В силу предложения 1 имеем

Поменяв здесь местами мы и придем к утверждаемому неравенству.

Сформулируем без доказательства

Предложение 3. Для всех и чисел имеет место равенство

Предложение 4. влечет

Доказательство. Допустим, что размерность образа отображения больше Тогда существуют линейно независимых элементов а для них линейных форм удовлетворяющих условиям

Поскольку существует положительное число такое, что

Так как по предположению

то для положительного числа

найдется отображение такое, что . Поскольку

имеем тогда

Но так как образ отображения не более чем -мерен, то элементов должны быть линейно зависимы, а потому

Полученное противоречие показывает, что наше допущение было неверным и, значит,

Предложение 5. Пусть нормированные пространства. Для любых

выполняется неравенство

Доказательство. Для произвольного положительного числа 6 существуют отображения такие, что

Поскольку имеем тогда

откуда в силу произвольной малости 6 и следует утверждаемое неравенство.

8.1.3. Если - подпространство нормированного пространства то каждое непрерывное линейное отображение нормированного пространства можно также рассматривать как отображение пространства Поэтому имеет аппроксимативные числа и в мы будем обозначать их для различения через и Ясно, что всегда

в случае здесь имеет место равенство, тогда как при число может быть строго больше, чем

Предложение. Если плотное подпространство нормированного пространства то для каждого непрерывного линейного отображения нормированного пространства имеет место равенство

Доказательство. Для произвольного положительного числа 6 существует отображение такое, что

Это отображение представимо в виде

с линейными формами и элементами Для последних существуют элементы такие, что

Положим

Тогда и

Поэтому

откуда в силу произвольной малости следует, что

Но тем самым наше утверждение доказано, ибо, как уже было замечено, всегда

8.1.4. Приведем пример вычисления аппроксимативных чисел. Нам понадобится

Лемма. Если непрерывное линейное отображение произвольного нормированного пространства в -мерное нормированное пространство и существует отображение такое, что для всех то

Доказательство. Допустим, что

Тогда существует отображение для которого

Так как банахово пространство, то отображение где тождественное отображение пространства на себя, должно быть обратимым. Но это невозможно, поскольку Полученное противоречие доказывает справедливость нашего утверждения.

8.1.5. В качестве применения предыдущей леммы вычислим аппроксимативные числа отображений одного простого класса. Обозначим через совокупность всех подмножеств множества индексов состоящих из элементов. Справедливо следующее

Предложение. Для каждого отображения вида

имеет место равенство

Доказательство. Обозначим выражение, стоящее в правой части утверждаемого равенства, через Тогда множество

содержит не более элементов, так что отображение А, определяемое формулой

принадлежит следовательно,

Тем самым для случая наше утверждение уже доказано. Если же возьмем произвольное множество для которого

и рассмотрим отображение с нормой определяемое формулой

Положим Так как

то формула

определяет отображение с нормой такое, что

Следовательно, в силу леммы 8.1.4 и предложения 5 из 8.1.2

и так как произвольное множество из для которого то

Тем самым равенство доказано.