7.1. Определение локально выпуклых тензорных произведений

7.1.1. Алгебраическое тензорное произведение линейных пространств есть линейное пространство всех формальных конечных сумм

в котором отождествляются следующие выражения:

7.1.2. Пусть локально выпуклые пространства. Для любых окрестностей нуля положим

где нижняя грань берется по всевозможным представлениям элемента в виде

и

где от выбора указанных представлений элемента в действительности не зависит. Этими формулами вводятся на алгебраическом тензорном произведении две системы преднорм, порождающие в две локально выпуклые топологии: -топологию и -топологию. Получающиеся так локально выпуклые тензорные произведения будут обозначаться их пополнения будут называться полными локально выпуклыми тензорными произведениями.

7.1.3. Предложение. В алгебраическом тензорном произведении локально выпуклых пространств -топология мажорирует -топологию.

Доказательство. Каковы бы ни были окрестности нуля для каждого элемента

и всех линейных форм справедливо неравенство

Следовательно,

и так как это верно при любом представлении элемента то

и наше утверждение доказано.