1.4. Абсолютно суммируемые семейства в локально выпуклых пространствах

1.4.1. Семейство в локально выпуклом пространстве называется абсолютно суммируемым, если

для каждой окрестности нуля

1.4.2. Из этого определения непосредственно следует, что совокупность всех абсолютно суммируемых семейств в образует относительно операций

линейное пространство; преднормы

определяют в нем локально выпуклую топологию, которую мы будем называть -топологией.

Ясно, что для задания -топологни нужны не обязательно все преднормы Вполне достаточно, чтобы пробегало какую-либо фундаментальную систему окрестностей нуля из

1.4.3. Предложение. Если полно, то и полно.

Доказательство. Пусть произвольная система Коши в Тогда для каждого индекса есть система Коши в так что существует элемент такой, что

Покажем, что система Коши сходится в -топологии к семейству образованному этими элементами. Действительно, для каждой окрестности нуля существует индекс такой, что

В силу (1) получаем из (2) в пределе

Поэтому для каждой окрестности нуля имеем

так что Но тогда из (3) непосредственно следует, что

Тем самым полнота доказана.

1.4.4. Данному в 1.3.1 определению суммируемых семейств соответствует теперь следующее

Предложение. Для каждого абсолютно суммируемого семейства в локально выпуклом пространстве справедливо соотношение

Доказательство. всякой окрестности нуля из поскольку

существует множество такое, что

Следовательно,

и предложение доказано.

1.4.5. Предложение. Каково бы ни было локально выпуклое пространство

причем тождественное отображение пространства непрерывно.

Доказательство. Пусть произвольное абсолютно суммируемое семейство в локально выпуклом пространстве Так как для каждой непрерывной линейной формы существует окрестность нуля такая, что то

так что семейство слабо суммируемо. Следовательно,

Так как для всех окрестностей нуля и семейств имеем

то

Тем самым тождественное отображение пространства непрерывно. Но в таком случае каждое абсолютно суммируемое семейство также суммируемо, ибо из дока

занного в 1.4.4 соотношения

следует теперь, что