Доказательство.
всякой окрестности нуля
из
поскольку
существует множество
такое, что
Следовательно,
и предложение доказано.
1.4.5. Предложение. Каково бы ни было локально выпуклое пространство
причем тождественное отображение пространства
непрерывно.
Доказательство. Пусть
произвольное абсолютно суммируемое семейство в локально выпуклом пространстве
Так как для каждой непрерывной линейной формы
существует окрестность нуля
такая, что
то
так что семейство
слабо суммируемо. Следовательно,
Так как для всех окрестностей нуля
и семейств
имеем
то
Тем самым тождественное отображение пространства
непрерывно. Но в таком случае каждое абсолютно суммируемое семейство также суммируемо, ибо из дока
занного в 1.4.4 соотношения
следует теперь, что