6.4. Пространства аналитических функций
6.4.1. Совокупность 
всех аналитических функций на открытом подмножестве 
конечной комплексной плоскости образует относительно операций
линейное пространство, в котором можно ввести локально выпуклую топологию с помощью преднорм
где К пробегает все компактные подмножества множества О. Рассмотрим теперь специальные компактные множества 
образованные всеми комплексными числами 
такими, что
Так как любое компактное множество 
содержится во всех множествах 
начиная с некоторого, то топология пространства 
порождается уже монотонно возрастающей последовательностью преднорм
Заметим, наконец, что, как следует из теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций, 
полно и тем самым есть 
-пространство.
6.4.2. Теорема. Локально выпуклое пространство 
ядерно.
Доказательство. Рассмотрим сначала произвольный круг
содержащийся в О. Существует положительное число 
такое, что круг
все еще целиком содержится в 
Тогда для каждого комплексного числа 
и всех аналитических функций 
получаем из интегральной формулы Коши
поскольку 
неравенство
Следовательно,
Так как непрерывные линейные формы 
определяемые для всех 
формулой
содержатся в поляре окрестности нуля
то формула
определяет положительную меру Радона 
на 
такую, что
Пусть теперь К — произвольное компактное подмножество множества О. Оно содержится в конечном числе кругов 
Но по доказанному тогда существуют окрестности нуля 
и положительные меры Радона 
на 
такие, что
Поэтому, задав на поляре окрестности нуля 
положительную меру Радона 
формулой
получим для всех аналитических функций 
оценку
Следовательно, 
в силу 4.1.5 ядерно.
