6.4. Пространства аналитических функций
6.4.1. Совокупность
всех аналитических функций на открытом подмножестве
конечной комплексной плоскости образует относительно операций
линейное пространство, в котором можно ввести локально выпуклую топологию с помощью преднорм
где К пробегает все компактные подмножества множества О. Рассмотрим теперь специальные компактные множества
образованные всеми комплексными числами
такими, что
Так как любое компактное множество
содержится во всех множествах
начиная с некоторого, то топология пространства
порождается уже монотонно возрастающей последовательностью преднорм
Заметим, наконец, что, как следует из теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций,
полно и тем самым есть
-пространство.
6.4.2. Теорема. Локально выпуклое пространство
ядерно.
Доказательство. Рассмотрим сначала произвольный круг
содержащийся в О. Существует положительное число
такое, что круг
все еще целиком содержится в
Тогда для каждого комплексного числа
и всех аналитических функций
получаем из интегральной формулы Коши
поскольку
неравенство
Следовательно,
Так как непрерывные линейные формы
определяемые для всех
формулой
содержатся в поляре окрестности нуля
то формула
определяет положительную меру Радона
на
такую, что
Пусть теперь К — произвольное компактное подмножество множества О. Оно содержится в конечном числе кругов
Но по доказанному тогда существуют окрестности нуля
и положительные меры Радона
на
такие, что
Поэтому, задав на поляре окрестности нуля
положительную меру Радона
формулой
получим для всех аналитических функций
оценку
Следовательно,
в силу 4.1.5 ядерно.