6.4. Пространства аналитических функций

6.4.1. Совокупность всех аналитических функций на открытом подмножестве конечной комплексной плоскости образует относительно операций

линейное пространство, в котором можно ввести локально выпуклую топологию с помощью преднорм

где К пробегает все компактные подмножества множества О. Рассмотрим теперь специальные компактные множества образованные всеми комплексными числами такими, что

Так как любое компактное множество содержится во всех множествах начиная с некоторого, то топология пространства порождается уже монотонно возрастающей последовательностью преднорм

Заметим, наконец, что, как следует из теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций, полно и тем самым есть -пространство.

6.4.2. Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно.

Доказательство. Рассмотрим сначала произвольный круг

содержащийся в О. Существует положительное число такое, что круг

все еще целиком содержится в Тогда для каждого комплексного числа и всех аналитических функций получаем из интегральной формулы Коши

поскольку неравенство

Следовательно,

Так как непрерывные линейные формы определяемые для всех формулой

содержатся в поляре окрестности нуля

то формула

определяет положительную меру Радона на такую, что

Пусть теперь К — произвольное компактное подмножество множества О. Оно содержится в конечном числе кругов Но по доказанному тогда существуют окрестности нуля и положительные меры Радона на такие, что

Поэтому, задав на поляре окрестности нуля положительную меру Радона формулой

получим для всех аналитических функций оценку

Следовательно, в силу 4.1.5 ядерно.