0.10. Непрерывные линейные отображения локально выпуклых пространств

0.10.1. Пусть любые вещественные или любые комплексные локально выпуклые пространства. Отображение пространства называют линейным, если

для всех Совокупность всех элементов будет называться образом отображения

Линейное отображение непрерывно тогда и только тогда, когда для каждой окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что

Каждому непрерывному линейному отображению пространства отвечает линейное отображение пространства относящее всякой линейной форме линейную форму определяемую формулой

Это отображение называется дуальным к При наделении обоих пространств сильными или обоих слабыми топологиями дуальное отображение непрерывно.

Если гильбертовы пространства, вместо дуального отображения рассматривают сопряженное отображение определяемое следующим образом: Ту для каждого элемента есть однозначно определенный по теореме Рисса элемент такой, что

0.10.3. Пусть локально выпуклые пространства. Совокупность всех непрерывных линейных отображений пространства становится линейным пространством, если под для любых и понимать непрерывное линейное отображение, определяемое формулой

0.10.4. В линейном пространстве можно ввести топологию с помощью преднорм

отвечающих окрестностям нуля

Получающееся так локально выпуклое пространство будет обозначаться

Если нормированные пространства с замкнутыми единичными шарами то топология пространства порождается нормой

Предложение. Если Е - нормированное, - банахово пространства, то банахово пространство.

0.10.5. Пусть — локально выпуклые пространства. Отображение называется конечномерным, если конечномерен его образ. Каждое такое отображение

можно представить с помощью некоторых линейных форм и элементов в виде

Совокупность всех конечномерных отображений пространства есть линейное подпространство в мы будем обозначать его

0.10.6. Линейное отображение нормированного пространства в нормированное пространство называется предкомпактным, если образ замкнутого единичного шара пространства предкомпактен в

Предложение. Образ каждого предкомпактного линейного отображения сепарабелен.

Предложение. Каждое отображение для которого существует такая направленная система конечномерных отображений что

предкомпактно.

Линейное отображение пространства называется компактным, если в существует компактное множество К такое, что

Предложение. Каждое предкомпактное линейное отображение нормированного пространства в банахово пространство компактно.

Кроме того, справедливо следующее

Предложение. Отображение дуальное к предкомпактному линейному отображению компактно.

0.10.7. Пусть гильбертово пространство. Отображение , удовлетворяющее условиям

называется проектором. Норма проектора не может превышать 1.

Предложение. Для каждого замкнутого подпространства гильбертова пространства существует проектор такой, что