5.4. Локально выпуклые тензорные произведения

5.4.1. Локально выпуклые тензорные произведения локально выпуклых пространств будут определены лишь в 7.1.2; но мы, основываясь на результатах гл. 7, уже здесь докажем следующее

Предложение. Локально выпуклое тензорное произведение ядерных локально выпуклых пространств ядерно.

Доказательство. Так как тензорные произведения согласно 7.3.2, совпадают, достаточно доказать утверждение для тензорного произведения Рассмотрим произвольные окрестности нуля и В силу 4.1.4 существуют окрестности нуля и и последовательности линейных

форм такие, что

и

Пусть теперь непрерывные линейные формы на определенные для всех формулами

Так как

то

Кроме того, для всех имеем

откуда

Но в силу 4.1.4 из (1) и (2) следует, что ядерно.

5.4.2. Из 5.3.1 и 5.4.1 непосредственно вытекает

Предложение. Полное локально выпуклое тензорное произведение ядерных локально выпуклых пространств также ядерно.