1.5. Вполне суммируемые семейства в локально выпуклых пространствах

1.5.1. Семейство в локально выпуклом пространстве называется вполне суммируемым, если существует ограниченное множество такое, что

1.5.2. Из этого определения непосредственно следует, что совокупность всех вполне суммируемых семейств в образует относительно операций

линейное пространство.

1.5.3. Предложение. Каждое вполне суммируемое семейство в локально выпуклом пространстве содержит не более счетного числа ненулевых элементов.

Доказательство. Из неравенства

и предложения 1.1.5 следует, что множество

не может быть более чем счетным.

1.5.4. Предложение. Каждое вполне суммируемое семейство в локально выпуклом пространстве абсолютно суммируемо.

Доказательство. Для каждого вполне суммируемого семейства в по определению, имеется

ограниченное множество такое, что

Но так как для каждой окрестности нуля существует положительное число такое, что то имеем также

1.5.5. Будем говорить, что локально выпуклое пространство обладает свойством если для каждого ограниченного множества В из где множество всех натуральных чисел, существует множество такое, что

1.5.6. Предложение. В локально выпуклом пространстве обладающем свойством всякое абсолютно суммируемое семейство вполне суммируемо.

Доказательство. Пусть произвольное абсолютно суммируемое семейство в Для каждого конечного множества индексов из положим для для Поскольку

семейства образуют в ограниченное множество и, значит, согласно предположению, существует множество такое, что

Но тогда также

1.5.7. Приведем пример локально выпуклого пространства, не обладающего свойством

Пусть произвольное множество индексов. Наделим линейное пространство всех числовых семейств локально выпуклой топологией, порождаемой преднормами

Семейство образованное числовыми семействами абсолютно суммируемо. Но так как всегда то в силу 1.5.3 и 1.5.6 пространство не может обладать свойством если множество индексов более чем счетно.

1.5.8. Теорема. Каждое метрическое или дуальнометрическое локально выпуклое пространство обладает свойством

Доказательство. (1) Пусть метрическое локально выпуклое пространство, его счетная фундаментальная система окрестностей нуля. каждого ограниченного множества В из существует положительное число такое, что

Положим

Тогда и так как

то

(2) Пусть теперь дуально-метрическое локально выпуклое пространство, а его счетная фундаментальная система ограниченных множеств.

Предположим, что в имеется ограниченное множество В такое, что

для всех натуральных чисел Тогда для каждого существуют семейство и множество такие, что

Следовательно, для всех существуют непрерывные линейные формы такие, что

Но для каждого существует теперь положительное число при котором

Поскольку и для всех имеем

получаем, что

Таким образом, А — счетное сильно ограниченное множество в следовательно, в силу предположения относительно равностепенно непрерывно. Тем самым существует окрестность нуля для которой

Так как мы предположили, что В ограниченно в должно существовать положительное число такое, что

Но это невозможно, ибо тогда для всех натуральных чисел выполнялось бы неравенство

Полученное противоречие показывает, что хотя бы для одного натурального числа имеет место неравенство

Положив тогда будем иметь

1.6.9. Легко видеть, что свойство сохраняется при переходе к подпространству. Напротив, на основании имеющегося опыта представляется весьма мало вероятным, чтобы оно переносилось и на факторпространства.