Глава 6. ПРИМЕРЫ ЯДЕРНЫХ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВ

Простейшими примерами ядерных локально выпуклых пространств являются пространства последовательностей Кёте и Теплица [1], удовлетворяющие дополнительному условию, сформулированному в теореме 6.1.2. Этот общий критерий ядерности пространства последовательностей принадлежит Пичу [6]. Но для случая метрических пространств последовательностей ("эшелонированных пространств") он был доказан еще Гротендиком [3].

Важнейшими ядерными локально выпуклыми пространствами являются пространства бесконечно дифференцируемых функций. Такого рода пространства впервые появились в теории распределений Лорана Шварца [2], где они играют фундаментальную роль. Абстрактная формулировка некоторого свойства пространств и собственно и привела Гротендика впервые к понятию ядерного локально выпуклого пространства.

Локально выпуклые пространства аналитических функций исследовались еще Теплицем [1], Кёте [3] и Гротендиком [7]. Их ядерность была доказана Гротендиком [3]. Локально выпуклые пространства гармонических функций рассмотрел Тилман [1].

Можно также вводить локально выпуклые пространства бесконечно дифференцируемых, аналитических или гармонических функций, заданных на соответствующих многообразиях. Кроме того, де Рам [1] в своей "теории потоков” применил локально выпуклые пространства дифференциальных форм.

6.1. Пространства последовательностей

6.1.1. Положим и пусть какое-либо множество числовых последовательностей обладающее следующими свойствами:

Если , то для всех

Для каждого существует последовательность у которой

Для любого конечного числа последовательностей существует последовательность такая, что

При этих условиях совокупность всех вещественных или комплексных числовых последовательностей таких, что

образует относительно операций

линейное пространство, в котором можно ввести локально выпуклую топологию, определяемую преднормами Полученное так локально выпуклое пространство последовательностей полно.

6.1.2. Теорема. Локально выпуклое пространство последовательностей ядерно тогда и только тогда, когда для каждой последовательности существуют последовательности такие, что

Доказательство. Для каждой окрестности нуля

положим

Относя тогда классу вычетов из соответствующему последовательность можно отождествить нормированное пространство с плотным подпространством пространства Если задана еще

окрестность нуля

такая, что то каноническому отображению пространства на отвечает отображение пространства порождаемое матрицей

Но, согласно 3.1.10, для ядерности этого отображения необходимо и достаточно, чтобы

А это условие выполнено тогда и только тогда, когда существует последовательность такая, что

6.1.3. В качестве простого следствия предыдущего критерия получается

Теорема. Локально выпуклое пространство последовательностей ядерно тогда и только тогда, когда его топология может быть задана преднормами

6.1.4. Множество всех числовых последовательностей у которых для всех определяет пространство числовых последовательностей у которых лишь конечное число членов отлично от нуля. Напротив, множество всех числовых последовательностей у которых для всех определяет пространство всех числовых последовательностей Пространства последовательностей и оба ядерны.

6.1.5. Под пространством степенных рядов мы понимаем пространство последовательностей для которого состоит из всех последовательностей вида

где фиксированные числа, удовлетворяющие условию

Мы называем пространством конечного или бесконечного типа соответственно тому, будет ли или В силу теоремы 6.1.2 для ядерности такого пространства в случае соответственно необходимо и достаточно, чтобы

для каждого, соответственно некоторого, числа заключенного между 0 и 1. Простейшие пространства степенных рядов конечного или бесконечного типов получаются при

6.1.6. Важнейшее ядерное пространство степенных рядов 2 определяется множествами последовательностей

Пространство состоит из тех и только тех числовых последовательностей у которых