Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3.3. Произведения квазиядерных и абсолютно суммирующих отображений нормированных пространств3.3.1. Лемма. Каждое квазиядерное отображение непрерывных линейных отображений
причем, каково бы ни было положительное число
Доказательство. Существует последовательность линейных форм
и
Пусть
Рассмотрим отображения
и
Так как
и
то
Теперь,
есть подпространство гильбертова пространства
определяет непрерывное линейное отображение
поскольку
Наконец, так как, согласно 0.10.7, в гильбертовом пространстве
Тем самым наше утверждение доказано, поскольку
3.3.2. Пусть Теорема. Произведение
Доказательство. Будем рассматривать 5 как отображение пространства
откуда, беря
Тем самым наше утверждение доказано, ибо в силу предложения 3.3.3. В дальнейшем
имеем тогда Предложение 1. Каково бы ни было непрерывное линейное отображение Доказательство. Пусть
В силу неравенства Бесселя 0.9.4 имеем
откуда, интегрируя по
Тем самым наше утверждение доказано. Предложение 2. Каково бы ни было отображение Гильберта — Шмидта Доказательство. (1) Рассмотрим сначала случай, когда
Тогда
Полагая
получаем, что
Вводя положительные меры Радона определяемые формулами
получаем для отображения
Отсюда
Но поскольку систему и потому
Принимая еще во внимание, что
получаем, что (2) Пусть теперь
и, следовательно, для каждого натурального числа
Выберем теперь ступенчатые функции
где
и приняв во внимание, что
получим, что
откуда
Поскольку отображения
Поэтому отображения
то
На основании леммы 3.1.3 заключаем, что отображение
3.3.4. По аналогии с леммой 3.3.1 дадим также разложение абсолютно суммирующих отображений. Лемма. Каждое абсолютно суммирующее отображение
где
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что
Так как функция
определяется непрерывное линейное отображение
Нормируем меру Радона X, положив
тогда будем иметь
Формула
определяет непрерывное линейное отображение
гильбертова пространства в
Наконец, так как, согласно 0.10.7, в гильбертовом пространстве Тем самым наше утверждение доказано, поскольку
3.3.5. Пусть Теорема. Произведение
Доказательство. Согласно предыдущей лемме, отображения
Обозначая тогда через 5 непрерывное продолжение отображения
В силу 3.3.3 (предложение 1)
Тогда из 3.3.3 (предложение 2) вытекает, что отображение
Следовательно,
Тем самым наше утверждение доказано, поскольку в силу 3.3.6. В случае когда Теорема причем
Доказательство. Пусть
то множество
не более чем счетно. Поскольку тогда
получаем для
Положив теперь
получим, что
причем будем иметь
Следовательно, Замечание. Пользуясь предложением 1 из 3.3.3, леммой 3.3.4 и теоремой 3.3.6, легко показать, что произведение трех абсолютно суммирующих отображений нормированных пространств всегда ядерно. Этого ослабления теоремы 3.3.5 достаточно для всех применений к теории ядерных локально выпуклых пространств.
|
1 |
Оглавление
|