3.3. Произведения квазиядерных и абсолютно суммирующих отображений нормированных пространств

3.3.1. Лемма. Каждое квазиядерное отображение нормированного пространства в банахово пространство представимо в виде произведения двух

непрерывных линейных отображений

причем, каково бы ни было положительное число разложение можно осуществить так, чтобы

Доказательство. Существует последовательность линейных форм такая, что

и

Пусть

Рассмотрим отображения и определяемые формулами

и

Так как

и

то

Теперь,

есть подпространство гильбертова пространства Формула

определяет непрерывное линейное отображение этого пространства с нормой

поскольку

Наконец, так как, согласно 0.10.7, в гильбертовом пространстве существует проектор с образом то можно положить где — однозначко определенное непрерывное продолжение отображения на замыкание подпространства Для нормы отображения будем иметь тогда

Тем самым наше утверждение доказано, поскольку

3.3.2. Пусть нормированные пространства.

Теорема. Произведение квазиядерных отображений ядерно, причем

Доказательство. Будем рассматривать 5 как отображение пространства В силу предыдущей леммы для каждого положительного числа 6 существуют отображения такие, что Из теоремы 3.2.6 и предложения 3.2.12 вытекает тогда, что ядерное отображение пространства в причем Следовательно, в силу должно быть ядерным отображением в О, причем

откуда, беря получаем в пределе, что

Тем самым наше утверждение доказано, ибо в силу предложения ядерно также как отображение и

3.3.3. В дальнейшем будет означать произвольное компактное хаусдорфово пространство, на котором задана положительная мера Радона с нормой Для канонического отображения пространства определяемого формулой

имеем тогда

Предложение 1. Каково бы ни было непрерывное линейное отображение гильбертова пространства в банахово пространство отображение пространства в есть отображение Гильберта-Шмидта, причем а

Доказательство. Пусть полная ортонормальная система в Обозначим через меру Дирака в точке определяемую формулой

В силу неравенства Бесселя 0.9.4 имеем

откуда, интегрируя по получаем

Тем самым наше утверждение доказано.

Предложение 2. Каково бы ни было отображение Гильберта — Шмидта пространства в гильбертово пространство отображение есть ядерное отображение банахова пространства причем

Доказательство. (1) Рассмотрим сначала случай, когда конечномерное отображение, представимое с помощью ступенчатых функций и элементов в виде

Тогда разбивается на конечное число -измеримых множеств таких, что каждая из ступенчатых функций есть линейная комбинация характеристических функций этих множеств:

Полагая

получаем, что

Вводя положительные меры Радона определяемые формулами

получаем для отображения представление

Отсюда

Но поскольку элементы пространства образуют в нем ортонормальную

систему и потому

Принимая еще во внимание, что

получаем, что и наше утверждение в этом частном случае доказано.

(2) Пусть теперь произвольное отображение Гильберта—Шмидта пространства в и полная ортонормальная система в Тогда

и, следовательно, для каждого натурального числа существует множество такое, что

Выберем теперь ступенчатые функции так, чтобы

где число элементов множества Определив, наконец, отображения формулами

и приняв во внимание, что

получим, что

откуда

Поскольку отображения удовлетворяют условиям случая (1), имеем

Поэтому отображения образуют последовательность Коши по норме При этом так как

то

На основании леммы 3.1.3 заключаем, что отображение ядерно. И при этом

3.3.4. По аналогии с леммой 3.3.1 дадим также разложение абсолютно суммирующих отображений.

Лемма. Каждое абсолютно суммирующее отображение нормированного пространства в банахово пространство представимо в виде произведения трех непрерывных линейных отображений

где положительная мера Радона на компактном хаусдорфовом пространстве имеющая норму , К — отображение, определяемое для всех формулой

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что поскольку случай тривиален. По теореме 2.3.3 тогда на имеется такая положительная мера Радона X с нормой что

Так как функция принадлежит для каждого то формулой

определяется непрерывное линейное отображение пространства в имеющее норму поскольку

Нормируем меру Радона X, положив

тогда будем иметь

Формула

определяет непрерывное линейное отображение подпространства

гильбертова пространства в с нормой поскольку

Наконец, так как, согласно 0.10.7, в гильбертовом пространстве существует проектор с образом можно положить где однозначно определенное непрерывное продолжение отображения 52 на замыкание подпространства Для нормы отображения будем иметь тогда

Тем самым наше утверждение доказано, поскольку

3.3.5. Пусть нормированные пространства. Справедлива следующая фундаментальная теорема, обобщающая результат, полученный в 3.3.2.

Теорема. Произведение двух абсолютно суммирующих отображений ядерно, причем

Доказательство. Согласно предыдущей лемме, отображения обладают разложениями вида

Обозначая тогда через 5 непрерывное продолжение отображения на получаем для как отображения пространства разложение

В силу 3.3.3 (предложение 1) есть отображение Гильберта-Шмидта пространства причем (см. 3.3.4)

Тогда из 3.3.3 (предложение 2) вытекает, что отображение ядерно, причем

Следовательно, как отображение пространства ядерно, причем

Тем самым наше утверждение доказано, поскольку в силу ядерно также как отображение

3.3.6. В случае когда гильбертовы пространства, предыдущую теорему можно доказать значительно проще.

Теорема Произведение двух отображений Гильберта—Шмидта и ядерно.

причем

Доказательство. Пусть полная ортонормальная система в Так как

то множество

не более чем счетно. Поскольку тогда

получаем для представление

Положив теперь и определив линейные формы формулами

получим, что

причем будем иметь

Следовательно, ядерно и о

Замечание. Пользуясь предложением 1 из 3.3.3, леммой 3.3.4 и теоремой 3.3.6, легко показать, что произведение трех абсолютно суммирующих отображений нормированных пространств всегда ядерно. Этого ослабления теоремы 3.3.5 достаточно для всех применений к теории ядерных локально выпуклых пространств.