7.2. Некоторые специальные локально выпуклые тензорные произведения

7.2.1. В этом параграфе рассматриваются локально выпуклые тензорные произведения банахова пространства с произвольным локально выпуклым пространством . В качестве первого результата докажем следующее

Предложение. Алгебраическое тензорное произведение отождествимо с линейным пространством всех конечномерных суммируемых абсолютно суммируемых) семейств из

Доказательство. Покажем сначала, что соответствие

определяет взаимно однозначное отображение тензорного произведения в линейное пространство всех семейств из Для этого рассмотрим элемент

переводимый линейным отображением в семейство так что

Элементы являются линейными комбинациями конечного числа линейно независимых элементов

Положив

получим, что

откуда

Но тогда

Тем самым взаимная однозначность линейного отображения доказана.

Очевидно, все семейства из образа отображения конечномерны и абсолютно суммируемы. С другой стороны, как видно из доказательства предложения 1.6.2, каждое конечномерное суммируемое семейство представимо в виде

и потому содержится в образе отображения так как

7.2.2. Предложение. Каково бы ни было локально выпуклое пространство локально выпуклое тензорное произведение отождествило с подпространством пространства образованным конечномерными семействами.

Доказательство. Алгебраическая часть нашего утверждения непосредственно следует из 7.2.1, и нужно

лишь показать, что -топология тензорного произведения совпадает с -топологией, индуцируемой из Для этого достаточно установить, что для каждого конечномерного семейства и каждой окрестности нуля выполняется равенство

где нижняя грань справа, которую мы обозначим берется по всевозможным представлениям семейства в виде

Так как всегда

то

Рассмотрим теперь произвольное представление семейства в виде

Задав положительное число 6, выберем множество так, чтобы

Тогда будем иметь

и

Следовательно,

откуда в силу произвольной малости 6 вытекает, что

Тем самым доказано, что

для всех конечномерных семейств

7.2.3. Теорема. Полное локально выпуклое тензорное произведение отождествило с локально выпуклым пространством I) для каждого полного локально выпуклого пространства

Доказательство. В силу 7.2.2 локально выпуклое тензорное произведение можно считать подпространством пространства Тогда из соотношения

справедливого для всех семейств следует, что линейное пространство плотно в Но так как в силу 1.4.3 полно, то оно отождествимо с пополнением пространства

7.2.4. Предложение. Каково бы на было локально выпуклое пространство локально выпуклое тензорное произведение отождествимо с подпространством пространства образованным конечномерными семействами.

Доказательство. Алгебраическая часть нашего утверждения непосредственно следует из 7.2.1, и нужно лишь показать, что -топология тензорного произведения совпадает с -топологией, индуцируемой из Для

этого рассмотрим произвольное конечномерное суммируемое семейство из представив его в виде

Для каждой окрестности нуля имеем по определению

Следовательно, справедливо также равенство

из которого после подстановки

получаем

Сравнение с определением -преднорм, данным в 7.1.2, показывает, что правая часть последнего равенства совпадает с -преднормой семейства образованной в Тем самым наше утверждение доказано.

7.2.5. Таким же способом, как и в 7.2.3, доказывается теперь следующая

Теорема. Полное локально выпуклое тензорное произведение отождествило с локально выпуклым пространством для любого полного локально выпуклого пространства

7.2.6. В заключение докажем еще следующее

Предложение. Для каждого локально выпуклого пространства утверждения

и

равносильны.

Доказательство. Поскольку импликация после 7.2.2 и 7.2.4 тривиальна, нужно лишь показать, что (1) влечет (2). Итак, предположим, что для локально выпуклого пространства справедливо утверждение (1). Тогда е-топология в совпадает с -топологией, так что для каждой окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что

Так как для каждого суммируемого семейства из семейства при всех принадлежат имеем

Следовательно,

так что семейство абсолютно суммируемо. Тем самым доказано, что

Но одновременно мы показали также, что -топология в мажорирует -топологию, а тогда эти топологии должны совпадать.