4.3. Сопряженное к ядерному локально выпуклому пространству

4.3.1. Установим теперь необходимое и достаточное условие ядерности сильного сопряженного к ядерному локально выпуклому пространству

Теорема. Ядерное локально выпуклое пространство дуально-ядерно тогда и только тогда, когда оно обладает свойством

Доказательство. Необходимость нашего условия непосредственно следует из 4.2.9. Для доказательства достаточности заметим, что для каждого ядерного локально выпуклого пространства выполняется равенство

Значит, если обладает еще свойством то оно должно быть дуально-ядерным в силу 4.2.10.

4.3.2. В свою очередь, зная, что сильное сопряженное к локально выпуклому пространству ядерно, можно задаться вопросом: при каких предположениях и само ядерно? Такая постановка вопроса имеет смысл только тогда, когда на топологию пространства которую вообще еще однозначно не определяет, наложены некоторые дополнительные условия, например требование квазибочечности.

Для доказательства нижеследующей теоремы нам понадобится

Лемма. Квазибочечное локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда его сильное сопряженное дуально-ядерно.

Доказательство. Так как по предположению квазибочечно, то

есть фундаментальная система ограниченных множеств в -Справедливость утверждения леммы следует теперь из 4.1.6 и того, что свойство фундаментальной системы окрестностей нуля совпадает со свойством для как фундаментальной системы ограниченных множеств.

Теорема. Дуально-ядерное квазабочечное локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда его сильное сопряженное обладает свойством

Доказательство. Так как по предположению ядерно, справедливость утверждения теоремы следует из теоремы 4.3.1 и предыдущей леммы.

4.3.3. Чтобы охватить нашим исследованием и дуальнометрические локально выпуклые пространства, нужно предыдущую лемму дополнить.

Лемма. Если локально выпуклое пространство -квазибочечно, дуально-ядерно, то ядерно.

Доказательство. Пусть Тогда и в силу предположения и 4.1.6 существует такое, что В и каноническое отображение пространства ядерно. Следовательно, в имеет место тождество

причем можно считать, что линейные формы содержатся в В, а нормы линейных форм заданных на удовлетворяют условию

Так как множество линейных форм счетно и сильно ограниченно, то в силу предположения леммы существует окрестность нуля такая, что все причем можно считать Но тогда каноническое отображение пространства ядерно, ибо

и

Тем самым мы показали, что фундаментальная система окрестностей нуля обладает свойством

Мы можем установить теперь следующий важный результат.

Теорема. Метрическое или дуально-метрическое локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда оно дуально-ядерно.

Доказательство. Так как по теореме 1.5.8 каждое метрическое или дуально-метрическое локально выпуклое пространство обладает свойством то из теоремы 4.3.1 следует, что все ядерные метрические или дуально-метрические пространства также дуально-ядерны. Обратно, если дуально-ядерное метрическое или дуально-метрическое локально выпуклое пространство, то его сильное сопряженное как ядерное дуально-метрическое или метрическое локально выпуклое пространство также дуальноядерно. А тогда из предыдущей леммы следует, что должно быть ядерным.

В силу большого значения доказанной только что теоремы придадим ей и другую редакцию.

Теорема. Метрическое или дуально-метрическое локально выпуклое пространство обладает ядерным сильным сопряженным тогда и только тогда, когда само ядерно.

4.3.4. Для иллюстрации наших результатов рассмотрим локально выпуклое пространство введенное в 1.5.7. Поскольку нормированные пространства для всех окрестностей нуля конечномерны, пространство ядерно. В то же время в случае более чем счетного множества индексов пространство не может быть дуально-ядерным, поскольку не обладает свойством

Сопряженное к отождествимо с пространством всех числовых семейств в которых лишь для конечного числа индексов При этом сильная топология в порождается системой всевозможных преднорм

Так как в свою очередь можно рассматривать как сильное сопряженное к то локально выпуклые пространства рефлексивны. Следовательно, для всех более чем счетных множеств индексов дуальное ядерно, но не ядерно.

Предложение. Существуют ядерные (не ядерные) квазибочечные локально выпуклые пространства, обладающие не ядерным (ядерным) сильным сопряженным.