Глава 9. ДИАМЕТРАЛЬНАЯ И АППРОКСИМАТИВНАЯ РАЗМЕРНОСТИ

В этой главе строятся некоторые инварианты локально выпуклых пространств. Речь идет об аппроксимативной размерности, введенной Колмогоровым [2] и Пелчинским [1], и тесно связанной с нею диаметральной размерностью (Бессага, Пелчинский, Ролевич [1], [2]), особенно хорошо приспособленной для изучения локально выпуклых пространств последовательностей.

По инициативе И. М. Гельфанда Б. С. Митягин [2], [4] охарактеризовал в терминах этих размерностей ядерные локально выпуклые пространства (теоремы 9.4.1 и 9.8.4). Частные случаи рассматривали до этого Ролевич [1] и Дынин и Митягин [1].

В 9.1.1 и 9.6.1 вводятся два фундаментальных понятия, относящихся к ограниченным множествам в нормированных пространствах. Это — поперечники, впервые рассматривавшиеся Колмогоровым, и так называемая -емкость, определение которой восходит к Понтрягину и Шнирельману. Связь между этими понятиями, устанавливаемая в 9.6.3, была открыта Митягиным [2], [4].

Развитые выше методы используются в 9.5.3 для доказательства того, что каждое ограниченное подмножество ядерного -пространства содержится в замкнутой абсолютно выпуклой оболочке быстро убывающей последовательности элементов пространства. Эта теорема принадлежит Гротендику, заметившему также, что "свойства убывания” равностепенно непрерывных подмножеств сопряженного пространства могут быть использованы для классификации ядерных локально выпуклых пространств [3, гл. II, стр. 64].

Можно было бы предпринять попытку построить теорию ядерных локально выпуклых пространств с помощью одного

только понятия аппроксимативной размерности. Но для этого, помимо свойств аппроксимативной размерности, установленных в 9.7.5, нужно было бы знать ее поведение при переходе к сильному сопряженному. Однако, если отвлечься от некоторых соотношений, без доказательства приведенных Бессагой, Пелчинским и Ролевичем [1], именно в этом пункте имеется большой пробел, который следовало бы заполнить по возможности скорее (проблема 9.7.6).

9.1. Поперечники ограниченных множеств в нормированных пространствах

9.1.1. Пусть В — произвольное ограниченное множество в нормированном пространстве с замкнутым единичным шаром Нижняя грань всех положительных чисел для которых в существует подпространство размерности, не превосходящей такое, что

называется -поперечником множества В. Очевидно,

9.1.2. Лемма. Пусть такое непрерывное линейное отображение пространства в себя, что Если В — ограниченное множество в для которого

то

Доказательство. Допустим, что и возьмем какое-нибудь число заключенное между Тогда в существует подпространство размерности, не превышающей такое, что

Так как собственное подпространство пространства существует элемент для которого

Выберем теперь в элемент для которого

Поскольку имеем

и потому элемент принадлежащий представим в виде

Следовательно,

Но так как то из определения числа вытекает также противоположное неравенство

Полученное противоречие показывает, что наше допущение было неверно и, значит,

9.1.3. Предложение. Пусть Тогда для ограниченного подмножества

банахова пространства имеют место равенства

Доказательство. Рассмотрим в подпространства

Обозначая через замкнутый единичный шар пространства имеем

и, следовательно,

Положим теперь Тогда отображение определяемое формулой

удовлетворяет условиям предыдущей леммы, причем Так как, кроме того,

то получаем, что

9.1.4. Предложение. Ограниченное подмножество В нормированного пространства предкомпактно тогда и только тогда, когда

Доказательство. Предположим сначала, что В предкомпактно. Тогда для каждого положительного числа 6 существует конечный набор элементов таких, что

Обозначая через подпространство пространства порожденное этими элементами, имеем

и так как заключаем, что

Но в силу произвольной малости 6 это и означает, что

Обратно, пусть В — ограниченное множество в для которого

Тогда для каждого положительного числа 6 существует натуральное число такое, что Поэтому, согласно определению -поперечника, в должно существовать подпространство размерности, не превышающей такое, что

Так как ограниченное подмножество конечномерного локально выпуклого пространства и потому предкомпактно, то существует конечное число элементов таких, что

Возьмем теперь произвольный элемент и представим его в виде

Тогда

и, следовательно,

Таким образом, мы показали, что для каждого положительного числа существует конечное число элементов таких, что

Тем самым В предкомпактно.

9.1.5. Предложение. Ограниченное подмножество В нормированного пространства содержатся в подпространстве размерности, не превышающей тогда и только тогда, когда

Доказательство. Если В содержится в не более чем -мерном подпространстве пространства то для всех положительных чисел 6 имеем

и, следовательно,

Обратно, пусть — ограниченное множество в для которого Допустим, что В содержит

линейно независимых элементов Как следует из теоремы Хана — Банаха 0.4.4, существуют линейные формы удовлетворяющие условиям Поскольку существует положительное число о такое, что

Положим

Поскольку в существует тогда подпространство размерности, не превосходящей такое, что

Следовательно, каждый элемент из В представим в виде

Так как элементы линейно зависимы, то

Но, с другой стороны, поскольку

мы должны иметь

Полученное противоречие показывает, что В не может содержать более чем линейно независимых элементов, и предложение полностью доказано.

9.1.6. Пусть нормированные пространства с единичными шарами произвольное непрерывное линейное отображение пространства Зададимся вопросом: как связаны между собой аппроксимативные числа определенные в 8.1.1, и -поперечники ограниченного подмножества

пространства Ответ дает следующая

Лемма. Для каждого имеют место неравенства

Доказательство. Для каждого наперед заданного положительного числа существует отображение для которого

Поскольку

имеем тогда

откуда в силу произвольной малости следует, что

Для доказательства второго неравенства положим где и рассмотрим в подпространство размерности не превосходящей такое, что

В силу леммы 1 из 8.4.1 существуют элементы и линейные формы такие, что

Тогда формула

определяет линейное отображение с нормой Положим Элемент для каждого представим в виде

Но так как то тогда

Поскольку заключаем, что

откуда в силу произвольной малости и следует утверждаемое неравенство.