Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава 9. ДИАМЕТРАЛЬНАЯ И АППРОКСИМАТИВНАЯ РАЗМЕРНОСТИВ этой главе строятся некоторые инварианты локально выпуклых пространств. Речь идет об аппроксимативной размерности, введенной Колмогоровым [2] и Пелчинским [1], и тесно связанной с нею диаметральной размерностью (Бессага, Пелчинский, Ролевич [1], [2]), особенно хорошо приспособленной для изучения локально выпуклых пространств последовательностей. По инициативе И. М. Гельфанда Б. С. Митягин [2], [4] охарактеризовал в терминах этих размерностей ядерные локально выпуклые пространства (теоремы 9.4.1 и 9.8.4). Частные случаи рассматривали до этого Ролевич [1] и Дынин и Митягин [1]. В 9.1.1 и 9.6.1 вводятся два фундаментальных понятия, относящихся к ограниченным множествам в нормированных пространствах. Это — поперечники, впервые рассматривавшиеся Колмогоровым, и так называемая Развитые выше методы используются в 9.5.3 для доказательства того, что каждое ограниченное подмножество ядерного Можно было бы предпринять попытку построить теорию ядерных локально выпуклых пространств с помощью одного только понятия аппроксимативной размерности. Но для этого, помимо свойств аппроксимативной размерности, установленных в 9.7.5, нужно было бы знать ее поведение при переходе к сильному сопряженному. Однако, если отвлечься от некоторых соотношений, без доказательства приведенных Бессагой, Пелчинским и Ролевичем [1], именно в этом пункте имеется большой пробел, который следовало бы заполнить по возможности скорее (проблема 9.7.6). 9.1. Поперечники ограниченных множеств в нормированных пространствах9.1.1. Пусть В — произвольное ограниченное множество в нормированном пространстве
называется
9.1.2. Лемма. Пусть
то
Доказательство. Допустим, что
Так как
Выберем теперь в
Поскольку
и потому элемент
Следовательно,
Но так как
Полученное противоречие показывает, что наше допущение было неверно и, значит, 9.1.3. Предложение. Пусть
банахова пространства
Доказательство. Рассмотрим в
Обозначая через
и, следовательно,
Положим теперь
удовлетворяет условиям предыдущей леммы, причем
то получаем, что
9.1.4. Предложение. Ограниченное подмножество В нормированного пространства
Доказательство. Предположим сначала, что В предкомпактно. Тогда для каждого положительного числа 6 существует конечный набор элементов
Обозначая через
и так как
Но в силу произвольной малости 6 это и означает, что
Обратно, пусть В — ограниченное множество в
Тогда для каждого положительного числа 6 существует натуральное число
Так как
Возьмем теперь произвольный элемент
Тогда
и, следовательно,
Таким образом, мы показали, что для каждого положительного числа
Тем самым В предкомпактно. 9.1.5. Предложение. Ограниченное подмножество В нормированного пространства
Доказательство. Если В содержится в не более чем
и, следовательно,
Обратно, пусть линейно независимых элементов
Положим
Поскольку
Следовательно, каждый элемент
Так как элементы
Но, с другой стороны, поскольку
мы должны иметь
Полученное противоречие показывает, что В не может содержать более чем 9.1.6. Пусть
пространства Лемма. Для каждого
Доказательство. Для каждого наперед заданного положительного числа
Поскольку
имеем тогда
откуда в силу произвольной малости
Для доказательства второго неравенства положим
В силу леммы 1 из 8.4.1 существуют элементы
Тогда формула
определяет линейное отображение
Но так как
Поскольку
откуда в силу произвольной малости
|
1 |
Оглавление
|