8.5. Отображения типа s

8.5.1. Пусть произвольные нормированные пространства. Мы будем обозначать через совокупность всех отображений для которых

и будем называть их отображениями типа

8.5.2. Так как

то имеем следующее

Предложение. линейное пространство.

8.5.3. Наделение каждого отображения фундаментальной системой окрестностей, образованной множествами

определяет в метрическую топологию. При этом из 8.2.4 и 8.2.5 непосредственно следуют два предложения.

Предложение 1. Если нормированное, банахово пространства, то полно.

Предложение 2. Линейное пространство плотно в

8.5.4. Пусть — нормированные пространства.

Предложение. (1) Если (2) Если то

8.5.5. Числовая последовательность называется быстро убывающей, если каждая последовательность ограниченна.

Лемма 1. Если быстро убывающая числовая последовательность, то

Доказательство. Пусть натуральное число; удовлетворяющее условию Так как тогда в силу предположения существует положительное число такое, что

то

Лемма 2. Каждая числовая последовательность , удовлетворяющая условиям и

является быстро убывающей.

Доказательство. Спрааедливость утверждения посредственно вытекает из того, что

Из лемм 1 и 2 следует

Предложение. есть отображение типа тогда и только тогда, когда его аппроксимативные числа образуют быстро убывающую последовательность.

8.5.6. Пусть нормированные пространства с замкнутыми единичными шарами

Теорема. есть отображение типа тогда и только тогда, когда оно представимо в виде

где быстро убывающая числовая последовательность.

Необходимость. Пусть Для каждого существует отображение такое, что

Положим Тогда

так что

В силу леммы 2 из 8.4.1 отображения представимы

Тогда

и

Тем самым мы показали, что представимо в виде

где

При этом, произведя, если нужно, надлежащую перестановку множества можно считать, что а тогда в силу леммы 2 из 8.5.5 числовая последовательность быстро убывающая.

Достаточность. Пусть теперь произвольное отображение из обладающее представлением

в котором быстро убывающая числовая последовательность. Так как отображение А, определяемое формулой

принадлежит то

Следовательно, для всех заключенных между 0 и 1, имеем

откуда

Тем самым — отображение типа .