8.5. Отображения типа s
8.5.1. Пусть
произвольные нормированные пространства. Мы будем обозначать через
совокупность всех отображений
для которых
и будем называть их отображениями типа
8.5.2. Так как
то имеем следующее
Предложение.
линейное пространство.
8.5.3. Наделение каждого отображения
фундаментальной системой окрестностей, образованной множествами
определяет в
метрическую топологию. При этом из 8.2.4 и 8.2.5 непосредственно следуют два предложения.
Предложение 1. Если
нормированное,
банахово пространства, то
полно.
Предложение 2. Линейное пространство
плотно в
8.5.4. Пусть
— нормированные пространства.
Предложение. (1) Если
(2) Если
то
8.5.5. Числовая последовательность
называется быстро убывающей, если каждая последовательность
ограниченна.
Лемма 1. Если
быстро убывающая числовая последовательность, то
Доказательство. Пусть
натуральное число; удовлетворяющее условию
Так как тогда в силу предположения существует положительное число
такое, что
то
Лемма 2. Каждая числовая последовательность
, удовлетворяющая условиям
и
является быстро убывающей.
Доказательство. Спрааедливость утверждения
посредственно вытекает из того, что
Из лемм 1 и 2 следует
Предложение.
есть отображение типа
тогда и только тогда, когда его аппроксимативные числа образуют быстро убывающую последовательность.
8.5.6. Пусть
нормированные пространства с замкнутыми единичными шарами
Теорема.
есть отображение типа
тогда и только тогда, когда оно представимо в виде
где
быстро убывающая числовая последовательность.
Необходимость. Пусть
Для каждого
существует отображение
такое, что
Положим
Тогда
так что
В силу леммы 2 из 8.4.1 отображения
представимы
Тогда
и
Тем самым мы показали, что
представимо в виде
где
При этом, произведя, если нужно, надлежащую перестановку множества
можно считать, что
а тогда в силу леммы 2 из 8.5.5 числовая последовательность
быстро убывающая.
Достаточность. Пусть теперь
произвольное отображение из
обладающее представлением
в котором
быстро убывающая числовая последовательность. Так как отображение А, определяемое формулой
принадлежит
то
Следовательно, для всех
заключенных между 0 и 1, имеем
откуда
Тем самым
— отображение типа
.