9.4. Диаметральная размерность ядерных локально выпуклых пространств

9.4.1. Мы охарактеризуем теперь в терминах диаметральной размерности ядерные локально выпуклые пространства.

Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда

для некоторого (каждого) положительного числа К.

Необходимость. Если ядерно, то по теореме 8.6.1 для каждой окрестности нуля и каждого положительного числа найдется окрестность нуля такая, что и каноническое отображение пространства на есть отображение типа При этом всегда можно считать, что

Так как в силу леммы 9.1.6

получаем тогда, что

и, следовательно,

Достаточность. Пусть теперь локально выпуклое пространство, для которого

Тогда для каждой окрестности нуля существуют окрестности нуля такие, что

при этом можно предполагать столь большим, что Пусть произвольное положительное число. В для каждого существует подпространство размерности, не превышающей такое, что

Следовательно,

где подпространство в имеющее размерность, не превышающую Поэтому

откуда в силу произвольной малости следует, что

Наконец, полагая и применяя лемму

9.1.6, получаем, что

Следовательно, есть отображение типа значит, в силу теоремы 8.6.1 ядерно.

9.4.2. Такими же рассуждениями, как в 9.4.1, доказывается следующая

Теорема. Локально выпуклое пространство В дуально-ядерно тогда и только тогда, когда

для некоторого (каждого) положительного числа К.