5.2. Произведения и суммы

5.2.1. Пусть задано семейство локально выпуклых пространств Тогда всевозможные семейства где образуют относительно операций

линейное пространство Как легко убедиться, множества

где и каждый раз лишь конечное число окрестностей нуля отлично от образуют фундаментальную систему окрестностей нуля в Соответствующие преднормы определяются формулами

Получающееся так локально выпуклое пространство называется произведением локально выпуклых пространств

Предложение. Произведение любого семейства ядерных локально выпуклых пространств ядерно.

Доказательство. Рассмотрим произвольную окрестность нуля пространства и образуем конечное множество

В силу 4.1.4 для каждого существуют окрестность нуля и линейные формы такие, что

и

Положив при получим окрестность нуля в Если для каждого семейства

положить

то можно будет считать непрерывными линейными формами на причем будем иметь

Так как, кроме того, для всех

то в силу предложения 4.1.4 пространство ядерно.

5.2.2. Пусть задано семейство локально выпуклых пространств Тогда всевозможные семейства где и лишь конечное число элементов отлично от нуля, образуют относительно операций

линейное пространство Легко убедиться в том, что множества

образуют в фундаментальную систему окрестностей нуля. Соответствующие преднормы определяются формулами

Множества

также образуют фундаментальную систему окрестностей нуля в Линейное пространство наделенное определяемой ими локально выпуклой топологией, называется

локально выпуклой суммой локально выпуклых пространств

Так как всегда то вторая топология мажорирует первую. В случае счетного множества индексов эти топологии совпадают, поскольку

Предложение. Локально выпуклая сумма

— счетного семейства ядерных локально выпуклых пространств ядерна.

Доказательство. Рассмотрим произвольную окрестность нуля пространства В силу 4.1.4 существуют окрестности нуля и линейные формы такие, что

и

Тогда есть окрестность нуля в Если для каждого семейства положить

то можно будет считать непрерывными линейными формами на причем

Так как, кроме того, для всех

то в силу предложения 4.1.4 пространство ядерно.

5.2.3. Пусть —линейное пространство и для каждого — его линейное отображение в локально выпуклое пространство причем для каждого непутевого элемента существует индекс такой, что

Пространство отождествимо с линейным подпространством произведения образованным всеми семействами Локально выпуклая топология в индуцируемая тогда из является слабейшей из локально выпуклых топологий в при которых все отображения непрерывны. Определенное так локально выпуклое пространство будет называться локально выпуклым ядром локально выпуклых пространств относительно отображений

Из 5.1.1 и 5.2.1 получаем

Предложение. Локально выпуклое ядро любого семейства ядерных локально выпуклых пространств ядерно.

5.2.4. Пусть семейство локально выпуклых пространств и для каждого линейное отображение пространства в линейное пространство совпадающее с объединением образов этих отображений. Тогда отождествимо с факторпространством локально выпуклой суммы 2 по ее подпространству образованному всеми семействами Для которых Если замкнуто, то можно наделить фактортопологией, и это будет сильнейшая из локально выпуклых топологий в при которых все отображения непрерывны. Определенное так локально выпуклое пространство будет называться локально выпуклой оболочкой локально выпуклых пространств относительно отображений

Из 5.1.3 и 5.2.2 получаем

Предложение. Локально выпуклая оболочка счетного семейства ядерных локально выпуклых пространств ядерна.