2.5. Отображения Гильберта — Шмидта

2.5.1. Пусть любые вещественные или любые комплексные гильбертовы пространства с замкнутыми единичными шарами Отображение называется отображением Гильберта — Шмидта, если для каких-либо полных ортогональных систем в в выполняется неравенство

Так как при этом

и

то не зависит от выбора полных ортонормальных систем

2.5.2. Пусть совокупность всех отображений Гильберта — Шмидта пространства

Предложение. линейное пространство со скалярным произведением

Доказательство. Для каждого отображения поскольку

имеем

Так как для любых отображений имеем

то также есть отображение Гильберта-Шмидта и выполнено неравенство треугольника

Кроме того, как легко видеть, для каждого и каждого числа а также причем

Тем самым линейное пространство с нормой Наконец, поскольку

числовое семейство суммируемо, так что выражение

существует для всех Но из этой формулы легко следует тогда, что скалярное произведение в причем

2.5.3. Предложение. содержится в как плотное линейное подпространство.

Доказательство. Для каждого существует такая полная ортонормальная система в что лишь для конечного числа элементов Следовательно,

так что Тем самым

Пусть теперь произвольное отображение из Выбрав в какую-нибудь полную ортонормальную систему рассмотрим отображения

Все они конечномерны. Но так как

то для каждого положительного числа существует множество такое, что

так что для всех содержащих справедливо неравенство

Следовательно.

2.5.4. Предложение. Каждое отображение Гильберта—Шмидта компактно.

Доказательство. Пусть — произвольное отображение из отображения, построенные по нему в 2.5.3. Так как

то сходятся к также в Следовательно, согласно 0.10.6, компактно.

2.5.5. Мы установим теперь интересную характеризацию отображений Гильберта — Шмидта.

Теорема. Абсолютно суммирующие отображения гильбертова пространства в гильбертово пространство совпадают с отображениями Гильберта — Шмидта, причем для каждого имеют место неравенства

Доказательство. Так как каждое отображение компактно, то по теореме 8.3.1 о спектральном разложении существуют такие ортонормальные системы в и числовое семейство что

Поскольку справедливо даже неравенство

Формулы

и

определяют отображения и так как

то эти отображения удовлетворяют неравенствам

Пусть, наконец, тождественное отображение пространства в так что по Тогда следовательно, по 2.2.5 Т - абсолютно суммирующее, причем

Обратно, пусть абсолютно суммирующее отображение пространства Каково бы ни было множество индексов имеем

Если теперь полная ортонормальная система в то все семейства принадлежат ибо в силу неравенства Бесселя 0.9.4 для всех линейных форм выполняются неравенства

Этим одновременно показано, что

откуда следует, что

Но в силу леммы 1.1.7 тогда

2.5.6. Проблема. Найти наименьшее положительное число о, при котором для всех отображений Гильберта — Шмидта справедливо неравенство